避免整数乘法和除法溢出答案

【问题标题】：Avoiding overflow in integer multiplication followed by division避免整数乘法和除法溢出
【发布时间】：2011-04-04 17:22:52
【问题描述】：

我有两个整数变量 a 和 b 和一个常量 s 分别。 d。我需要分别计算(a*b)>>s 的值。 a*b/d。问题是乘法可能会溢出，即使a*b/d 可以适合给定的整数类型，最终结果也不会正确。

如何有效地解决这个问题？直接的解决方案是将变量a 或b 扩展为更大的整数类型，但可能没有更大的整数类型。有没有更好的方法来解决这个问题？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

如果没有更大的类型，你要么需要找到一个 big-int 样式库，要么手动处理它，使用长乘法。

例如，假设 a 和 b 是 16 位的。然后您可以将它们重写为a = (1<<8)*aH + aL 和b = (1<<8)*bH + bL（其中所有单独的组件都是8 位数字）。那么你知道总体结果将是：

(a*b) = (1<<16)*aH*bH
      + (1<<8)*aH*bL
      + (1<<8)*aL*bH
      + aL*bL

这 4 个组件中的每一个都适合 16 位寄存器。您现在可以执行例如在每个单独的组件上右移，小心处理适当的进位。

【讨论】：

【解决方案2】：

我没有对此进行详尽的测试，但是您是否可以先进行除法，然后再考虑余数，以牺牲额外的操作为代价？因为d是2的幂，所以所有的除法都可以简化为按位运算。

例如，总是假设a > b（你想先除较大的数）。然后a * b / d = ((a / d) * b) + (((a % d) * b) / d)

【讨论】：

【解决方案3】：

如果较大的类型只有 64 位，那么直接的解决方案很可能会产生高效的代码。在 x86 CPU 上，两个 32 位数字的任何乘法都会在另一个寄存器中产生溢出。因此，如果您的编译器理解这一点，它就可以为Int64 result=(Int64)a*(Int64)b 生成高效的代码。

我在 C# 中遇到了同样的问题，编译器生成了非常好的代码。 C++ 编译器通常比 .net JIT 创建更好的代码。

我建议将代码转换为更大的类型，然后检查生成的汇编代码以检查它是否良好。

【讨论】：

我查看了反汇编，int32_t result = (int64_t(a)*int64_t(b))>>2 生成了很好的代码（只是 imul 用于乘法）。但是当 b 是常量时，编译器会生成call _allmul。这似乎有点奇怪。我将不得不更深入地研究它。

【解决方案4】：

在某些情况下（历史上具有选定常数的 LCG 随机数生成器），对于 a 和 d 的某些值，可以做你想做的事情。

这称为施拉格方法，参见例如。 there.

【讨论】：