找到最小的电线连接

Question

问题

a 给了你一块 a 大小的木板。电路板上有 n 个组件，它们必须连接到电路板的边缘，且电线长度尽可能短。
电线是直的，不能重叠。

找到算法，通过这些约束将组件连接到边缘。

约束是：

时间：1s
空间：无限
1 1

示例：

输入： 4 3 2 1 2 3 3 3 输出： 5 向下 向上 向上

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我已经尝试过的

我发现了一种递归，让我用上面提供的数据来展示这个想法。

我有一个 n 位掩码，其中第 i 个位置的 1 表示我们考虑了这个组件，而 0 没有。

当我开始递归时，我有 n 个：

111 / | \ / | \ 011 101 110 / \ / \ / \ 001 010 001 100 010 100

当我来到最低级别时，我正好有一个1。我为这个简单的问题找到了最佳解决方案（最短的方法），然后我将其用于进一步的计算。

但是，我有一个问题，这个最优解可能会导致重叠。

Answer 1

目前我真的找不到比branch and bound 解决这个问题的方法更好或更聪明的方法了。它在某种程度上类似于您提出的建议，但没有多余的计算。
这里简单描述为pythonic伪代码：

def BnB(grid, components):
    queue = new_priority_queue()  # classic priority queue
    empty_sol = [None for i in range(len(components))]  # we create an 'empty' solution
    queue.push((0, 0, empty_sol))  # we push an initial empty solution on the queue (a tuple total len, index, solution)
    best_length_so_far = infinite # we keep track of the best solution seen so far
    best_sol_so_far = None
    while not queue.is_empty():
        length, index, solution = queue.pop()
        if index == len(components):  # it is a feasible solution
            if best_len_so_far > length:
                best_len_so_far = length
                best_sol_so_far = solution
        elif length < best_len_so_far:
           #  check if components[index] can have its wire 'DOWN'
           if can_put_wire(grid, components, index, 'DOWN'):
               length_to_add = path_len(grid, component, index, 'DOWN')
               new_sol = copy(solution)
               new_sol[index] = 'DOWN'
               queue.push((length + length_to_add, index + 1, new_sol))
           # do the same thing for the other directions
           if can_put_wire(grid, components, index, 'UP'):
               ....
           if can_put_wire(grid, components, index, 'LEFT'):
               ....
           if can_put_wire(grid, components, index, 'RIGHT'):
               ....
return best_sol_so_far

解决方案树的探索取决于您如何设置队列的优先级。选择要考虑的组件（而不是按照上面代码中的顺序排列它们）也有助于更快地获得解决方案。 这不会是有效的（复杂的时间指数w.r.t组件的数量），但它可以找到解决方案。

另一种可能是使用ILP（整数线性规划）来解决问题。它可以很容易地用线性约束来描述，并且可以享受 LP 求解器提供的所有优化。