2个排序整数数组中的二进制搜索

Question

有一个大数组，由 2 个小整数数组组成，一个在另一个末尾写成。两个小数组都按升序排序。我们必须尽可能快地在大数组中找到一个元素。我的想法是通过 binsearch 在大数组中找到左数组的结尾，然后在小数组上实现 2 binsearches。问题是我不知道如何找到那个结局。如果您有一个想法，如何在不查找较小数组的边界的情况下查找元素，欢迎您！

数组信息：两个小数组都有整数元素，都按升序排序，长度都可以从0到任意正整数，但只能有一份一个元素。 下面是一些大数组的例子：

1. 1 2 3 4 5 6 7（第二个数组的所有元素都大于第一个数组的最大值）

2. 100 1（两个数组只有一个元素）

3. 1 3 5 2 4 6 或 2 4 6 1 3 5（最常见的情况）

Answer 1

这个问题不可能在保证的时间复杂度比 O(n) 更快地解决，并且对于某些数组根本不可能解决。二进制搜索在 O(log n) 中运行排序数组，但不保证大数组是排序的，并且在最坏的情况下需要每个元素进行一次或多次比较，即 O(n)。最佳保证时间复杂度是 O(n)，使用简单算法：将每个项目与其邻居进行比较，直到找到 A[i] > A[i+1] 的“转折点”。但是，如果您使用广度优先搜索，您可能会很幸运并早日找到“转折点”。

证明问题对于某些数组是无法解决的：让数组M = [A B] 成为我们的大数组。为了找到数组相遇的点，我们正在寻找一个索引i，其中M[i] > M[i+1]。现在让A=[1 2 3] 和B=[4 5]。数组M 中没有条件成立的索引，因此问题对于某些数组是无法解决的。

前者的非正式证明：让M=[A B] 和A=[1..x] 和B=[(x+1)..y] 是两个排序数组。然后交换元素x和y在M中的位置。如果不（在最坏的情况下）检查每个索引，我们就无法找到x 的索引，因此问题是 O(n)。

二分搜索依赖于每次比较能够消除一半的解决方案空间，但在这种情况下，我们无法从数组中消除任何东西，因此我们无法比线性搜索做得更好。

（从实际的角度来看，您永远不应该在程序中这样做。两个数组应该是分开的。如果这不可能，请将其中一个数组的长度附加到更大的数组中。）

编辑：在问题更新后更改了我的答案。对于 some 数组，它可能比线性时间更快，但不是所有可能的数组。这是我对使用广度优先搜索的算法的想法：

Start with the interval [0..n-1] where n is the length of the big array.
Make a list of intervals and put the starting interval in it.
For each interval in the list:
    if the interval is only two elements and the first element is greater than the last
        we found the turning point, return it
    else if the interval is two elements or less
        remove it from the list
    else if the first element of the interval is greater than the last
        turning point is in this interval
        clear the list
        split this interval in two equal parts and add them to the list
    else
        split this interval in two equal parts and replace this interval in the list with the two parts

我认为广度优先的方法会增加找到早于A[first] > A[last] 的区间的几率。请注意，如果转折点位于两个区间之间，则此方法将不起作用，但它可以帮助您入门。我会自己测试一下，但不幸的是我现在没有时间。