最小化矩阵差异受块对角约束

Question

我有一个矩阵 W，它是一个尺寸为 2*4 的块对角矩阵，它的两个块对角线中的每一个都是 1*2 向量。我想找到其条目的值，以最小化以下函数之间的差异： (F = BH-AW) 其中：W是需要优化的块对角矩阵，B是2*2矩阵，H是给定的2*4矩阵，A是2*2矩阵。 A 和 B 使用附加代码中使用的函数计算。 我尝试了这个附加代码，但我认为它现在处于无限循环中，我不知道该怎么办？

    %% My code is:

while ((B*H)-(A*W)~=zeros(2,4))
            w1=randn(1,2); 
% generate the first block diagonal vector with dimensions 1*2. The values of each entry of the block diagonal vector maybe not the same.

            w2=randn(1,2); 
% generate the second block diagonal vector with dimensions 1*2.
            W=blkdiag(w1,w2); 
% build the block diagonal matrix that I want to optimize with dimensions 2*4.

            R=sqrtm(W*inv(inv(P)+(H'*inv(eye(2)+D)*H))*W'); 
% R is a 2*2 matrix that will be used to calculate matrix A using the LLL lattice reduction algorithm. The values of P (4*4 matrix), H (2*4 matrix) and D (2*2 matrix) are given. It's clear here that matrix R is a function of W.

            A= LLL(R,3/4); 
% I use here LLL lattice reduction algorithm to obtain 2*2 matrix A which is function of R.

            B=A'*W*P*H'*inv(eye(2)+D+H*P*H'); 
% B is 2*2 matrix which is function of A and W. The values of P (4*4 matrix), H (2*4 matrix) and D (2*2 matrix) are given.

        end

Answer 1

浮点数的数值运算仅在计算机上是近似的（任何数字都只能用有限的位数表示，这意味着您不能精确地表示 Pi）。如需更多信息，请参阅this link。

因此，您编写的循环极不可能终止，因为B*H 和A*W 之间的差异不会完全为零。相反，您需要使用容差系数来决定您何时对所获得的相似性感到满意。

此外，正如其他人在评论中所建议的那样，两个矩阵之间的“距离”通常使用某种范数（例如 Frobenius 范数）来衡量。默认情况下，Matlab 中的norm 函数将给出输入矩阵的 2 范数。

在您的情况下，这将给出如下内容：

tol = 1e-6;

while norm(B*H-A*W) > tol

    % generate the first block diagonal vector with dimensions 1*2. 
    % The values of each entry of the block diagonal vector maybe not the same.
    w1=randn(1,2); 

    % generate the second block diagonal vector with dimensions 1*2.
    w2=randn(1,2); 

    % build the block diagonal matrix that I want to optimize with dimensions 2*4.
    W=blkdiag(w1,w2); 

    % R is a 2*2 matrix that will be used to calculate matrix A using the LLL lattice reduction algorithm. 
    % The values of P (4*4 matrix), H (2*4 matrix) and D (2*2 matrix) are given. 
    % It's clear here that matrix R is a function of W.
    R=sqrtm(W/(inv(P)+(H'/(eye(2)+D)*H))*W'); 

    % I use here LLL lattice reduction algorithm to obtain 2*2 matrix A which is function of R.
    A= LLL(R,3/4); 

    % B is 2*2 matrix which is function of A and W. The values of P (4*4 matrix), 
    % H (2*4 matrix) and D (2*2 matrix) are given.
    B=A'*W*P*H'/(eye(2)+D+H*P*H'); 

end

请注意：

• 关于实际算法，我有点担心您的循环似乎永远不会更新W 的值，而是更新矩阵A 和B。这表明您对问题的描述可能不正确或不完整，但这超出了本论坛的范围（如果您想了解更多信息，请咨询Maths.SE）。

• 在许多情况下不鼓励直接使用inv()。这是因为计算矩阵逆的算法不如求解AX=B 类型系统的算法可靠。 Matlab 应该警告您在可能的情况下使用/ 和\；除非您知道自己在做什么，否则我建议您遵循此建议。