如何判断一个图是否是树？答案

【问题标题】：how to find whether a graph is tree or not?如何判断一个图是否是树？
【发布时间】：2014-08-11 00:32:05
【问题描述】：

我正在尝试解决一个 SPOJ 问题is it a tree ?，在该问题中我必须检查一个图是否是树？在这个问题中，我使用 DFS 来检测图形是否有循环..

我的代码是..

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <string.h>

using namespace std;

typedef long long int64;
typedef unsigned long long uint64;
#define two(X) (1<<(X))
#define twoL(X) (((int64)(1))<<(X))
#define contain(S,X) (((S)&two(X))!=0)
#define containL(S,X) (((S)&twoL(X))!=0)
const double pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-11;
template<class T> inline void checkmin(T &a,T b){if(b<a) a=b;}
template<class T> inline void checkmax(T &a,T b){if(b>a) a=b;}
template<class T> inline T sqr(T x){return x*x;}
typedef pair<int,int> ipair;
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LENGTH(A) ((int)A.length())
#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(X) push_back(X)
int scanInt()
{
    char c;
    int ans=0;
    while(true)
    {
        c=getchar_unlocked();
        if(c==' ' || c=='\n')
            return ans;
        ans=(ans<<3)+(ans<<1)+c-'0';
    }
}
bool applyDFS(vector<vector<int> > &graph,int n)
{
    queue <int> st;
    int i,j=0;
    vector<bool> visited(n+1,false);
    int node=1;
    st.push(1);
    while(!st.empty())
    {
        node=st.front();
        st.pop();
        if(visited[node])
           {
            return false;
            }
            visited[node]=true;
        for(i=0;i<graph[node].size();i++)
            {
                if(!visited[graph[node][i]])
                    st.push(graph[node][i]);
            }
        j++;
    }
    return j==n?true:false;
}
int main()
{
    int n,m,x,y,i;
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    n=scanInt();
    m=scanInt();
       vector <vector<int> > graph(n+1);
       stack <int > st;
    for(i=0;i<m;i++)
    {
          x=scanInt();
          y=scanInt();
          graph[x].PB(y);
          graph[y].PB(x);
          st.push(x);
    }
    if(applyDFS(graph,n))
        cout<<"YES\n";
    else
        cout<<"NO\n";
    return 0;
}

当我提交解决方案时，我收到“超出时间限制”消息。有没有更好的方法来解决这个问题？？

【问题讨论】：

您无需尝试寻找周期。想想一棵树的属性，最重要的是，它有多少个组件？它有多少条边？
@kevmo314 你可以有一个包含 3 个节点和 2 条边的图，它不是一棵树（它包含一个循环）。所以这绝对是一个“如果”，而不是“仅当”
@alfasin 您的图表有两个组件。
@alfasin 好吧，我想避免直接给出答案，但是树是具有一个组件和 V-1 边的图。参见：en.wikipedia.org/wiki/Tree_(graph_theory)，即“G 是连通的并且有 n-1 条边。”
@kevmo314 再次正确，但是，森林（树木的集合）也是一个图。因此，如果要严格一点，就不能避免检查周期和连通性。

标签： algorithm graph depth-first-search

【解决方案1】：

正如 kevmo314 在他的评论中提到的，我们需要检查图的连通性和边的数量是否恰好是 n-1，以确保图是一棵树。

所以有两个观察结果：

如果边数为n - 1，我们只需要检查连通性。
对于这个问题，使用disjoint set，作为每条边，如果它是一棵树，这条边应该连接两个断开的组件，否则，这个图不是一棵树。所以时间复杂度是 O(n)，因为只有 n - 1 边要检查。

【讨论】：

-1 在我在上面的第一条评论中描述的情况下，该算法将失败。您无法在 O(n) 中检查连接性。
@alfasin 正如我所说，如果有 n - 1 条边，我们只需要检查连通性，所以 O(n) 会成功。
@alfasin 为什么？深度优先搜索的时间复杂度是O(V + E)，在这种情况下V = (E + 1) = n，那么时间复杂度是O(2*n) = O(n)？对于带有路径压缩的联合查找，它是 ~ O(n)。
@alfasin 这个算法不会失败。这是正确的。发帖人的回答是完全相关的。您在上面描述的情况（一些带有循环的不相交图）将无法通过连通性测试，因为有 n - 1 条边。如果有超过 n - 1 条边，则甚至不需要连通性测试。
这是我的最后评论，现在答案已（正确）被 OP 接受。我承认通过将您的一些 cmets 标记为过时且不具建设性而失去了几个声誉点，我没有任何问题。您有足够的声望点来查看足够多的不良 cmets 和答案，以便您很好地了解何时停止以及何时继续。似乎在这个特定的问题中，你的自我阻碍了。我希望你剩下的日子会更好。我是认真的。