为什么不能在有向图上使用 Prim 或 Kruskal 的算法？答案

【问题标题】：Why can't Prim's or Kruskal's algorithms be used on a directed graph?为什么不能在有向图上使用 Prim 或 Kruskal 的算法？
【发布时间】：2014-03-26 00:55:15
【问题描述】：

Prim 和 Kruskal 的算法用于找到连通图和无向图的最小生成树。为什么不能在有向图上使用它们？

【问题讨论】：

那么，有向图上的生成树的定义是什么？
对于有向图，与 MST 类似的问题是最小成本跨越树木场景或最小分支问题。 Edmond's algorithm 可以用与 Prim 相同的渐近复杂度来实现，但它在概念上更复杂。

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【解决方案1】：

这些算法一开始就起作用是一个小奇迹——大多数贪心算法在某些情况下会崩溃和烧毁。假设您想使用它们来找到最小跨度树状结构（从一个顶点到所有其他顶点的有向路径），那么 Kruskal 的一个有问题的图如下所示。

 5
  --> a
 /   / ^
s   1| |2
 \   v /
  --> b
 3

我们将采用成本 1 的 a->b 弧，然后卡住了，因为我们真的想要成本 3 的 s->b 和成本 2 的 b->a。

对于 Prim，此图有问题。

 5
  --> a
 /   /
s   1|
 \   v
  --> b
 3

我们将采用成本为 3 的 s->b，但我们确实想要成本为 5 的 s->a 和成本为 1 的 a->b。

【讨论】：

我想补充一点，第一个示例如何无法使用 kruskal 形成 mst。首先我们得到成本为 1 的边 (a,b)，然后我们看到下一条边是成本 2 的 (b,a) 但不能使用，因为 a 和 b 在同一个集合中，而 kruskal 的算法赢了不允许。现在是成本为 3 的边 (s,b)，kruskal 算法将允许，因为 s 和 b 不在同一个集合中，但如果我们添加 (s,b) 边，则形成的结构不是树，这是一个图，因为在有向树中，您不能有两个出度为 1 的节点。

【解决方案2】：

Prim 和 Kruskal 的算法为连通图和“无向”图输出最小生成树。如果图没有连接，我们可以调整算法以输出最小生成森林。

在 Prim 的算法中，我们将图分成两组顶点。一组已探索的顶点已经形成了一个 MST（Set 1），另一组未探索的顶点最终将加入第一组以完成“spanning”（Set 2）。在每一时刻，我们在连接两个不相交集的切割中选择一个最小加权边缘。如果从 MST 的已探索节点到剩余的未探索节点之间没有有向边，即使 MST 中存在从未探索节点到已探索节点的边，算法也会卡住。

在 Kruskal 算法中，想法是按边的权重升序对边进行排序，然后按顺序拾取它们，如果它们尚未与任何已探索节点形成循环，则将它们包含在已探索节点/边的 MST 中。这是使用联合查找数据结构完成的。但是这种方法无法检测有向图的循环。例如，包含边 [1->2] [2->3] [1->3] 的图将使用 Union-Find 方法报告包含一个循环。

所以 Prim 失败了，因为它假设每个节点都可以从每个节点到达，尽管对于无向图有效，但对于有向图可能不正确。 Kruskal 的失败是因为未能检测到循环，有时必须添加边制作循环以满足 MST 的“最小”加权属性。

此外，对于有向图，MST 并不完全有意义。它与有向图的等价物是“最小跨度树状结构”，它将生成一棵树，其中每个顶点都可以从单个顶点到达。

【讨论】：

:) 谢谢灰胡子。现已更正！！
"失败，因为它假设每个节点都可以从每个节点到达" -> 如果你有一个完整的有向图（即反向边具有不同的权重），那么 Prim 的算法将仍然没有给你最小生成树（相当于无向图）