在 MATLAB 中绘制二阶方程的解

Question

请您帮我解决以下问题： 我想求解具有两个未知数的二阶方程，并使用结果绘制椭圆。 这是我的功能：

fun = @(x) [x(1) x(2)]*V*[x(1) x(2)]'-c

V is 2x2 对称矩阵，c 是一个正常数，有两个未知数，x1 和 x2。 如果我使用 fsolve 解方程，我注意到解对初始值非常敏感

fsolve(fun, [1 1])

是否有可能在不提供确切起始值而是提供范围的情况下获得该方​​程的解？例如，我想查看x1, x2 \in (-4,4) 的可能组合

使用ezplot 我获得了所需的图形输出，但不是方程的解。

fh= @(x1,x2) [x1 x2]*V*[x1 x2]'-c;
ezplot(fh)
axis equal

有没有办法两者兼得？ 非常感谢！

Answer 1

您可以从ezplot 获取XData 和YData：

c = rand;
V = rand(2);
V = V + V';
fh= @(x1,x2) [x1 x2]*V*[x1 x2]'-c;
h = ezplot(fh,[-4,4,-4,4]); % plot in range
axis equal
fun = @(x) [x(1) x(2)]*V*[x(1) x(2)]'-c;
X = fsolve(fun, [1 1]); % specific solution
hold on;
plot(x(1),x(2),'or');
% possible solutions in range
x1 = h.XData;
x2 = h.YData;

或者你可以使用向量输入到fsolve:

c = rand;
V = rand(2);
V = V + V';
x1 = linspace(-4,4,100)';
fun2 = @(x2) sum(([x1 x2]*V).*[x1 x2],2)-c;
x2 = fsolve(fun2, ones(size(x1))); 
% remove invalid values
tol = 1e-2;
x2(abs(fun2(x2)) > tol) = nan;

plot(x1,x2,'.b')

然而，最简单直接的方法是以二次方程的形式重新排列椭圆matrix form：

k = rand;
V = rand(2);
V = V + V';
a = V(1,1);
b = V(1,2);
c = V(2,2);
% rearange terms in the form of quadratic equation:
%     a*x1^2 + (2*b*x2)*x1 + (c*x2^2) = k;
%     a*x1^2 + (2*b*x2)*x1 + (c*x2^2 - k) = 0;
x2 = linspace(-4,4,1000);
A = a;
B = (2*b*x2);
C = (c*x2.^2 - k);
% solve regular quadratic equation
dicriminant = B.^2 - 4*A.*C;
x1_1 = (-B - sqrt(dicriminant))./(2*A);
x1_2 = (-B + sqrt(dicriminant))./(2*A);
x1_1(dicriminant < 0) = nan;
x1_2(dicriminant < 0) = nan;
% plot
plot(x1_1,x2,'.b')
hold on
plot(x1_2,x2,'.g')
hold off