浮点数何时精确取整？

Question

我的问题被标记为与https://stackoverflow.com/a/22023918/856090 重复，但它不是重复的。该问题涵盖了不精确表示的情况，而我的问题是关于特殊情况下的精确表示

在 Python 3 会话中：

>>> 0.1*3/3
0.10000000000000002
>>> 12.34567
12.34567

第一次计算产生的结果不准确。 （我明白为什么：这是因为浮点数是四舍五入的。）

但第二次计算（从十进制分数切换到二进制 FP，然后再返回）会产生精确的结果。

我的问题是为什么第二个结果（以及许多类似的“计算”，只涉及一个没有算术运算的 FP 数）是准确的（与在 Python 会话中键入的相同）？

另外：两个小数（其指数相差不大）的和的精确性如何？

Answer 1

这不是“精确的”... 12.34567 没有二进制64 的精确表示。但是 Python 的浮点到字符串转换的默认规则会产生与您输入的输入相同的结果。如果您强制它为您提供整个故事，它会暴露出不精确性：

>>> '{:.500}'.format(12.34567)
'12.3456700000000001438138497178442776203155517578125'

Answer 2

精确表示有两个限制。

第一个消除了诸如 12.34567 和 0.1 之类的数字，它必须具有作为基数 2 分数的有限表示。它必须等于 A/B，其中 A 是整数，B 是 2 的整数幂，例如 1、2、4、8 等。

这可以很容易地测试。首先将数字写为比率。例如，0.1 是 1/10。减少到最低条件。 1 和 10 除了 1 之外没有共同的整数因子，所以 1/10 已经减少了。看分母，10。它不是 2 的幂，所以 0.1 不能完全表示。

现在考虑 0.375。它等于 375/1000 或 3/8。 8 是 2 的幂，因此 0.375 具有有限二进制小数表示。

第二组条件限制所涉及的数字的大小以适应特定的浮点格式。

Answer 3

你不能做以 10 为基础的事情并假设它们以相同的方式在以 2 为基础工作。

双精度 IEEE

0.1 = 0x3FB999999999999A
3.0 = 0x4008000000000000
12.34567 = 0x4028B0FBA8826AA9
0.1*3.0 = 0x3FD3333333333334
(0.1*3.0)/3.0 = 0x3FB999999999999B

单在计算器上更容易处理，并注意有趣的区别：

0.1 = 0x3DCCCCCD
3.0 = 0x40400000
12.34567 = 0x414587DD
0.1*3.0 = 0x3E99999A
(0.1*3.0)/3.0 = 0x3DCCCCCD

所以首先

0x3DCCCCCD is 0 01111011 10011001100110011001101

如果分母 1/3 = 0.3333333 中有一个 3，请注意与以十为底的重复模式。就像 1/6 0.16666667 因为我们四舍五入。好吧，看看最后一点，它最后会是 1001，但这有点太多了，如果你要砍掉的点之后的数字大于你四舍五入的一半，那么二进制中的 0.1001 舍入到 0.101是的？同样的交易。

在这种情况下，对于您的十进制数字，单精度得出正确答案，将某个数字乘以 3，然后再除以得到相同的数字，但在不同点的舍入剪辑加倍时，我们再次四舍五入并最终得到的数字比开始时要大得多。

这一切都可以很容易地以十进制形式显示。如果我的格式是固定位数，我必须在某个点停止，所以可以说 1/6 = 0.166666 或者它是 0.166667。和 6.0 可以说是 6.00000。因此，如果我使用十进制浮点格式并乘以 6 * (1/6)，我得到 0.99996 或 1.000002 在这两种情况下都不会得到 1。不是因为四舍五入，而是因为数字无法以该格式准确表示。

如果您从某个以 10 为基数的 ASCII 字符串变为浮点数，然后又回到某个以 10 为基数的 ASCII 字符串时，如果您恢复了开始时的数字，那么这只是运气。该数字要么以浮点数准确表示，要么没有。您可以通过上面非常简单的以 10 为底的浮点数看到，无论您有多少位接近无穷大，您都不会得到 6 * (1/6) = 1，因为以 10 为底的浮点数不能准确地表示 1/6固定位数。

查看你的其他号码

12.34567 = 0x414587DD
0 10000010 10001011000011111011101
12.34567 = 0x4028B0FBA8826AA9
0 10000000010 1000101100001111101110101000100000100110101010101001

1.10001011000011111011101
1.1000101100001111101110101000100000100110101010101001

很明显 single 没有足够的位来表示它，并且没有向上舍入，因为下一位是小于一半的零。并且双打一直工作到最后，我不会将它转换回以 10 为底的数字，但我愿意打赌你只是走运了。如果你有更多的比特，那会安定下来吗？同样，我不会为您手动转换。我认为您应该能够看到，即使您只是查看 0.1 并转到浮动并返回 ASCII，您也不会得到 0.1。就像以十进制为基础的 1/6 不会在那里和回来转换，如果你将它四舍五入，你会很幸运：5.9999... 如果你在正确的位置剪辑/四舍五入，则四舍五入为 6.0，但这只是 ASCII 转换的四舍五入而不是浮点格式表示的实际数字。