Matlab：将二阶矩阵微分方程简化为标准特征问题答案

【问题标题】：Matlab: Reduce second order matrix differential equation to standard eigenproblemMatlab：将二阶矩阵微分方程简化为标准特征问题
【发布时间】：2016-04-27 16:57:52
【问题描述】：

我想获得一个质量矩阵 M 和刚度矩阵 K 的简单机械系统的固有频率（.mat-file -> Download）：

Mx''(t)+Kx(t)=0（x= 位置）。

这基本上意味着，我必须解决 det(K-w^2*M)=0。但是我怎样才能在 Matlab 中解决它（或者如果有必要将它简化为标准特征值问题然后解决它）？这些矩阵绝对可以用 Abaqus（FEM 软件）求解，但我必须在 Matlab 中求解。

我尝试了以下但没有成功： det(K-w^2*M)=0 => det(M^-1*K-w^2*I)=0 (I := unity matrix) 但是用

解决这个特征值问题

sqrt(eigs(K*M^-1))

提供错误的值和警告：

“矩阵对于工作精度来说是奇异的。

在 matlab.internal.math.mpower.viaMtimes（第 35 行）中”

其他错误值可以通过det(K-w^2*M)=0 => det(I/(w^2)-M*K^-1)=0得到：

1./sqrt(eigs(M*K^-1))

任何提示都会对我有所帮助。提前致谢。

【问题讨论】：

您的问题被称为generalized eigenvalue problem 并且“在大多数情况下，最好不要执行反演，而是解决最初所述的广义特征值问题”。幸运的是，Matlab 可以处理这类问题。在您的情况下：eigs(K,M)。问题似乎是M 和K 都是单数。
非常感谢。问题只是矩阵与 Abaqus 求解的矩阵完全相同。 Abaqus 产生了很好的结果（可以通过分析验证）。请允许我提出第二个问题：是否也可以在 Matlab 中使用阻尼和复特征值以某种方式做到这一点？
是的，有趣的是Abaqus可以解决这个问题。我很确定 Matlab 可以处理复杂的特征值，可能也有阻尼（与速度成正比？）。关于原始问题：刚度矩阵是奇异的很奇怪，因为这意味着结构不能承受任何力。你确定这些是正确的矩阵吗？如果是，我建议先用一个简单的静态问题复制 Abaqus 结果，其中只涉及刚度矩阵。
谢谢。 Abaqus 有一个导出方程组的选项。我用过。我模拟了一个弹性很小的无质量弹簧，它连接到一个弹性非常高的质量 - 所以基本上是一个质量阻尼器。但是你的提示给了我一些想法，我明天可以做什么。对于第二个问题：是的，它与速度成正比——非常简单：Mx''(t)+Dx'(t)+Kx(t)=0

标签： matlab matrix

【解决方案1】：

正如@Arpi 提到的，您实际上想要解决广义特征值问题：

K*x = w^2*M*x

由于您的矩阵 K 和 M 显然是单数（或只是其中之一），因此无法使用 eigs，但您必须使用 eig：

V = eig(K,M);

w = sqrt(V);

【讨论】：

M 和 K 是稀疏矩阵，因此不能使用 eig。 “当 A 或 B 稀疏时，EIG 不支持广义特征问题 EIG(A,B)。请改用 EIGS。”
@Arpi 我猜 K 和 M 的稀疏性很重要，因为它是 FEM 应用程序。然后必须先求解矩阵的奇异性（绝对是 K），然后才能使用 eigs。怀疑边界条件存在一些问题。