开发算法以获得覆盖范围从 1 到 n 所需的最小子范围数

Question

谁能用一些伪代码和/或解释如何解决这个问题来帮助我解决这个问题？

给定一个范围列表 {start, stop} 和一个目标长度 n。一些范围将与其他范围重叠。开发一种算法来确定从 1 到 n 完全跨越所需的最小范围数。

例如，如果给定一个范围列表 [{1,2},{1,3},{2,3}] 和目标长度 n = 3，我应该返回 1，因为我们只需要{1,3} 涵盖从 1 到 3。显然，这是一个非常简单的测试用例。

有什么想法吗？我很困惑。我几乎想开发某种贪心算法，但我不确定这是否适合贪心解决方案......

Answer 1

您可以使用Interval Tree。将区间放入数据结构中。

从 a = 1 开始。

在每一步都查询树中与 a 重叠且右端最大的区间。请注意，当您将区间树实现为增强的红黑树时，您可以使查询为您提供这两个条件。

将a的值重置为这个右端的值。

在查询返回结果时重复，每次将结果间隔存储在将成为答案的列表中。当 a >= n 时停止。

返回获得的列表。

---

证明上述结果具有最小基数

假设上面得到的区间序列，按左端排序为I1，I2，...，Im，分别调用a1，a2，...，am，右端。

如果 J1, J2, ..., Jr 是另一个区间序列，按它们的左端排序，覆盖 [1,n] 且 r 最小。呼叫 b1, b2, ..., br 他们的右端。

注意 J1 覆盖 1。因此 b1

因此，J2 涵盖 a1。你可以看到这是怎么回事。现在我们重复上面的论点。通过构造，b2

Answer 2

到目前为止，我在想我应该首先按它们的起始元素对范围列表进行排序，但我不确定下一步该去哪里......

是的，这是一个好的开始。

完成此操作后，您将遍历“可达”范围的“块”：

• 首先，您扫描 start ≤ 1 的所有范围（意味着它们立即“可达”），并在这些范围中找到最大的 end — 调用max_end₁.
• 然后，您扫描所有具有 1 start ≤ max_end₁ 的范围（意味着您可以“到达”它们仅在一个先前的区间），并在 那些 范围中找到最大的 end — 称之为 max_end₂。
• 继续这样做，直到达到某个 i 使得 max_end_i ≥ n时间>。 i 就是答案。
• 如果您到达可到达范围的“块”为空的点 - 您到目前为止的所有范围只能让您达到 x（其中 x n)，并且下一个范围有 start > x，或者有 is 没有下一个范围——那么就没有回答，因为即使所有的间隔加在一起也不涵盖从 1 到 n 的范围。

请注意，虽然您只遍历排序列表一次，但如果您使用两个嵌套循环，实现起来可能会更简单：一个用于遍历“块”的外部循环，以及一个用于遍历“块”的外部循环。内部循环迭代每个“块”中的间隔。