最小移动以平衡阵列答案

【问题标题】：minimum moves to balance an array最小移动以平衡阵列
【发布时间】：2012-02-17 05:46:02
【问题描述】：

我们有一个由 n 个正整数组成的数组。一个可接受的做法是将一个元素增加 1 并将其相邻元素之一减少 1。

最终数组中的最小值和最大值最多相差 1。这样做的最小移动次数是多少？

例如，如果初始数组是 {5, 6, 4, 1, 10}，则答案是 5，最终数组可能是 {5, 5, 5, 5, 6}。

【问题讨论】：

我没有任何多项式算法。
SO 不会只给你算法。你有没有想过这个问题并想出一些直觉？
如果我们知道目标数组，它将在 O(n) 中求解；只是扫阵并贪婪地移动。我猜可能存在一个动态解决方案，比如在数组的后缀中有 k 个最大值，但之前需要一些贪婪的动作。

标签： algorithm adhoc

【解决方案1】：

我们可以使用分治法来解决这个问题。

我们知道所有元素的最终值一定是数组中所有元素的AVERAGE。如果平均值不是整数，那么我们可以定义两个值 - MAX 和 MIN，这样 MAX 是平均值的上限，MIN 是平均值的下限。 (http://en.wikipedia.org/wiki/Floor_and_ceiling_functions)

现在将数组分成两等份。 [ 0 - n/2 ] 和 [ n/2 +1 到 n-1 ]。如果 n 是奇数，前半部分会更小，但这没关系。

对于每一半，计算所有元素的平均值。这个平均值必须等于 MAX 或 MIN。如果不是，则必须根据需要提高或降低该平均值。

现在要注意的一件事是，子数组的平均值不能通过仅涉及该子数组中的元素的操作来修改。因此，任何更改都需要在第 n/2 和第 n/2+1 元素之间进行操作。

另一点需要注意的是，如果一个子数组的平均值小于要求，另一个子数组的平均值大于要求。

因此可以很容易地在两个中间元素之间进行适当的操作。

现在将每个子数组一分为二，然后重复这个过程。

[注意：计算子数组平均值所需的重复求和操作可以在对数时间内执行，用于更新和求和操作，使用区间树http://en.wikipedia.org/wiki/Interval_tree]

【讨论】：

您的解决方案中有一个贪婪的事实：您在两个中间元素之间移动 1 的次数越少越好。（为什么？）
因为，就像我说的那样，增加/减少任何子数组的平均值的唯一方法是将值从该子数组移入/移出另一个子数组。为什么这是必需的？因为我们知道在最终数组中，该数组中的任何子数组必须具有 MIN 和 MAX 之间的平均值，包括两者。另外，我认为 O(n) 贪心解决方案是不可能的（我的至少是 O(n log n)，可能更多取决于求和操作的实现方式）
您在子数组之间移动尽可能少的 1，只是为了将它们的平均值变为 [MIN,MAX]，并且您不再执行移动；以后移动更多的 1 是否有帮助？如果您的算法是正确的，则可能会在每次工作时删除 1 长度的子数组：每次移动直到第一个元素的值和其余元素的平均值变为 [MIN,MAX];它将在 O(n) 中工作。分而治之对你的算法有什么帮助？