S的最长平衡子序列

Question

给定问题：

一串括号据说是 如果字符串中的左括号和右括号可以正确配对，则平衡。例如，字符串“（（））”和“（）（）”都是平衡的，而字符串“（（）（”）不是 均衡。
给定一个由括号组成的长度为 n 的字符串 S，假设您想找到平衡的 S 的最长子序列。使用动态规划，设计一种算法，在 O(n^3) 时间内找到 S 的最长平衡子序列。

我的做法：
假设给定字符串：S[1 2 ... n]
当 S[i] == ')' 时，有效的子序列可以在 S[i] 处结束，即 S[i] 是右大括号，并且在 S[i] 之前至少存在一个未使用的左大括号。这可以在 O(N) 中实现。

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
    string s;
    cin >> s;
    int n = s.length(), o_count = 0, len = 0;
    for(int i=0; i<n; ++i){
        if(s[i] == '('){
            ++o_count;
            continue;
        }
        else if(s[i] == ')' && o_count > 0){
            ++len;
            --o_count;
        }
    }
    cout << len << endl;
    return 0;
}

我尝试了几个测试用例，它们似乎运行良好。我在这里错过了什么吗？如果不是，那我该如何为这个问题设计一个 O(n^3) 动态规划解决方案？

这是我正在使用的subsequence 的定义。

谢谢！

Answer 1

对于O(n^3) DP，我认为这应该可行：

dp[i, j] = longest balanced subsequence in [i .. j]
dp[i, i] = 0
dp[i, i + 1] = 2 if [i, i + 1] == "()", 0 otherwise

dp[i, j] = max{dp[i, k] + dp[k + 1, j] : j > i + 1} in general

这可以类似于optimal matrix chain multiplication 的方式实现。

您的算法对我来说似乎也是正确的，例如这个问题：

http://xorswap.com/questions/107-implement-a-function-to-balance-parentheses-in-a-string-using-the-minimum-nu

解决方案与您的基本相同。

你只是忽略了额外的括号，所以我不明白为什么它不起作用。

Answer 2

这是一个O(n^2)Java 中的时空 DP 解决方案：

public int findLongestBalancedSubsequence(String seq, int n) {
    int[][] lengths = new int[n][n];

    for (int l = 1; l < n; l++) {
        for (int i = 0; i < n - l; i++) {
            int j = i + l;
            // Ends are balanced.
            if (seq.charAt(i) == '(' && seq.charAt(j) == ')') {
                // lengths[i, j] = max(lengths[i + 1, j - 1] + 2, lengths[i + 1, j] + 
                // lengths[i, j - 1] - lengths[i + 1, j - 1])
                if (lengths[i + 1][j - 1] + 2 > lengths[i + 1][j] +
                    lengths[i][j - 1] - lengths[i + 1][j - 1])
                    lengths[i][j] = lengths[i + 1][j - 1] + 2;
                else
                    lengths[i][j] = lengths[i + 1][j] +
                        lengths[i][j - 1] - lengths[i + 1][j - 1];
            // Ends are not balanced.
            } else {
                // lengths[i, j] = max(lengths[i + 1, j], lengths[i, j - 1])
                if (lengths[i + 1][j] > lengths[i][j - 1])
                    lengths[i][j] = lengths[i + 1][j];
                else
                    lengths[i][j] = lengths[i][j - 1];
            }
        }
    }

    return lengths[0][n - 1];
}