Matlab中的收缩张量

Question

我正在寻找一种在 Matlab 中收缩张量的两个索引的方法。

假设我有一个维度为 [17,10,17,12] 的张量，我正在寻找一个函数，它对具有相同索引的第一维和第三维求和，并留下一个维度为 [10,12] 的矩阵（类似到二维的轨迹）。

我目前正在研究张量网络，主要使用“置换”和“重塑”功能。如果一个人在收缩多个张量并且从一开始就没有小心，那么最终可能会得到一个想要在 [i,j,i,k] 形式的张量中收缩的索引。

当然，人们可以返回并以一种不会发生这种情况的方式收缩张量，但我仍然对更强大的解决方案感兴趣。

编辑：

大意是：

A = rand(17,10,17,12);
A_contracted = zeros(10,12);
for i = [1:10]
    for j = [1:12]
        for k = [1:17]
            A_contracted(i,j) = A_contracted(i,j) + A(k,i,k,j);
        end
    end

end

Answer 1

这是一种方法：

A_contracted = permute(sum( ...
   A.*((1:size(A,1)).'==reshape(1:size(A,3), 1, 1, [])), [1 3]), [2 4 1 3]);

以上使用implicit expansion 以及在sum 中一次沿多个维度进行操作的可能性，这是最近的Matlab 功能。对于较旧的 Matlab 版本，

A_contracted = permute(sum(sum( ...
   A.*bsxfun(@eq, (1:size(A,1)).', reshape(1:size(A,3), 1, 1, [])),1),3), [2 4 1 3]);

Answer 2

[我觉得我开始听起来像是一张破唱片...]

您应该始终首先将代码实现为循环，然后尝试使用permute 和reshape 进行优化。但请注意，permute 需要复制数据，因此往往会增加工作量，而不是减少工作量。最新版本的 MATLAB 在循环方面不再缓慢，因此复制数据不再是加快速度的有用技巧。

例如，问题中的循环可以简化为：

A_contracted = zeros(size(A,2),size(A,4));
for k = 1:size(A,1)
    A_contracted = A_contracted + squeeze(A(k,:,k,:));
end

（我也推广到任意大小）。

与Luis' answer 相比，我看到矢量化方法在小型阵列（例如 OP (17x10x17x12) 中的阵列）中以 0.09 毫秒对 0.19 毫秒获胜。但是，周围的时间非常短，可能不值得付出努力。但是，对于较大的数组（我尝试了 17x100x17x120），我看到循环方法赢得了 1.3 毫秒和 2.6 毫秒。

数据越多，使用简单的旧循环的优势就越大。对于 170x100x170x120，它是 0.04 秒对 0.45 秒。

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测试代码：

A = rand(17,100,17,120);
assert(all(method2(A)==method1(A),'all'))
timeit(@()method1(A))
timeit(@()method2(A))

function A_contracted = method1(A)
A_contracted = permute(sum( ...
   A.*((1:size(A,1)).'==reshape(1:size(A,3), 1, 1, [])), [1 3]), [2 4 1 3]);
end

function A_contracted = method2(A)
A_contracted = zeros(size(A,2),size(A,4));
for k = 1:size(A,1)
    A_contracted = A_contracted + squeeze(A(k,:,k,:));
end
end

Answer 3

我的教授提出了另一种解决方案（以下用方法 3 表示），涉及重塑和矩阵乘法。

1. 采用收缩索引大小的单位矩阵
2. 将其重塑为矢量
3. 相应地重塑您想要收缩的张量
4. 将向量和张量相乘
5. 重塑收缩张量

与Luis's（方法1）和Cris's答案（方法2）比较的示例代码：

A = rand(17,10,17,10);

timeit(@()method1(A))
timeit(@()method2(A))
timeit(@()method3(A))

function A_contracted = method1(A)
A_contracted = permute(sum( ...
   A.*((1:size(A,1)).'==reshape(1:size(A,3), 1, 1, [])), [1 3]), [2 4 1 3]);
end


function A_contracted = method2(A)
A_contracted = zeros(size(A,2),size(A,4));
for k = 1:size(A,1)
    A_contracted = A_contracted + squeeze(A(k,:,k,:));
end
end


function A_contracted = method3(A)
sa_1 = size(A,1);
Unity = eye(size(A, 1));
Unity = reshape(Unity, [1,sa_1*sa_1]);
A1 = permute(A, [1,3,2,4]);
A2 = reshape(A1, [sa_1*sa_1, size(A1, 3)* size(A1,4)]);
UnA = Unity*A2;
A_contracted = reshape(UnA, [size(A1,3), size(A1,4)]);
end

method3 在小维度上的优势超过 method1 和 method2 一个数量级，并且在较大维度上也优于 method1，但在较大维度上被 for 循环击败一个数量级。

method3 具有（有点个人的）优势，即在我的物理课程中的应用程序更直观，因为收缩实际上并不是在张量本身中，而是在度量方面。 method3 可以很容易地适应这个特性。

Answer 4

很简单

squeeze(sum(sum(a,3),1))

sum(a,n) 对数组的第 n 维求和，squeeze 删除任何单维数