相关性 = 1 的 Numpy 双变量正态分布

Question

将 X 和 Y 视为相关性为 1.0 的边际标准正态。

当相关性为 1.0 时，二元正态分布未定义（从技术上讲，它是 y = x 线），但 numpy 仍会打印出值。为什么会这样？

Answer 1

哦，但是分布是定义的！它只是没有明确定义的 density 函数。 （至少，不是关于 2D 空间上的 Lesbegue 度量。）（请参阅Mathematics Stack Exchange's discussion 了解更广泛的此类分布。）所以numpy 没有做错任何事情。

您所描述的是二元（或更一般地，多元）正态分布的degenerate case。当协方差矩阵不是正定的时，就会发生这种情况。然而，分布是为任何正的半-正定协方差矩阵定义的。

例如，矩阵 [[1, 1], [1, 1]] is positive not definite 但 is positive semidefinite。

分布仍然具有分布应该具备的许多其他属性：支撑（如您所记，实线：μ + span(Σ)）、矩等等。

import numpy as np

np.random.multivariate_normal(mean=[0, 0], cov=[[1, 1], [1, 1]])
# array([0.61156886, 0.61156887])

总之，numpy 的行为没有被破坏。通过从正确指定的分布中返回样本来表现良好。