在准备期末考试时，我在 第 222 页的 J. Hopcroft、R. Motwani、J. Ullman 的Automata Theory, Language and Computation 中发现了这个问题。
PDA 应该接受字符串，其中 1 的数量是 0 的数量的两倍，如果我没有误解这个问题，那么该字符串可以有不同的 0 和 1 序列，没有特定的模式或特定的顺序。
我解决这个问题的第一个方法是将问题分成两部分
但划分问题似乎并没有降低问题的复杂性。
解决这些问题的方法应该是什么？
【问题讨论】：
标签： automata computation-theory pushdown-automaton
字符串以 0 或 1 开头都没有关系，在解决这个问题时应该牢记的是，我们要每两个 1 压栈一个 1 strong>，如果栈顶为 1，类似地，如果我们遇到栈顶为 0，那么我们必须仅在字符串中出现第二个 1 时将其弹出。通过使用两种状态可以很容易地实现这个动机。让状态为 q0 和 q1。如果我们处于 q0 状态，则意味着我们还没有遇到这对中的第一个 1，而状态 q1 意味着我们已经遇到了这对中的第一个 1。 PDA 的各种转换如下所示。
设 PDA 为 P({q0, q1},{0, 1},{0,1,z},?,q0,z)
?(q0,0,z) = {(q0, 0z)}
?(q0,1,z) = {(q1,z)}
?(q0,0,0) = {(q0, 00)}
?(q0,1,0) = {(q1, 0)}
?(q0,0,1) = {(q0, ε)}
?(q0,1,1) = {(q1,1)}
?(q1,0,0) = {(q1, 00)}
?(q1,1,0) = {(q0, ε)}
?(q1,0,1) = {(q1,ε)}
?(q1,1,1) = {(q0, 11)}
?(q1,0,z) = {(q1, 0z)}
?(q1,1,z) = {(q1, 1z)}
?(q0,ε,z) = {(q0, ε)}
【讨论】：
我知道这已经 5 岁了，但由于尚未接受答案，我想我会分享我的答案，看看它是否对任何人有帮助（我确信它可以简化，但这是我的逻辑）：
PDA 定义：P({S, M, Z, q1, F}, {0, 1}, {0, 1, $}, 下面描述的转换函数 em>, S, {S, F})
我在下面插入了我的绘图图片，但我首先将 $ 压入堆栈以指示底部并进入状态 M。然后，如果第一个符号是零，则将零压入堆栈并进入状态 z。如果是 1，则将 1 压入堆栈并进入状态 q1。在状态 z 中，如果字符串中的下一个零是零，则停留在状态 z 并将零添加到堆栈中。如果字符串中的下一个 1 并且堆栈顶部有一个零，则将零从堆栈中弹出并停留在状态 z 中。如果在状态 z 中字符串中的下一个 1 并且堆栈为空，则移动到状态 q1 并将 1 压入堆栈。如果字符串为空且堆栈顶部有一个 $，则弹出 $ 并进入状态 F。
状态 q1 具有几乎相同的转换，但相反。
在状态 q1 中，如果字符串中的下一个是 1，则停留在状态 q1 并将一个 1 添加到堆栈中。如果字符串中的下一个零和堆栈顶部有一个 1，则将 1 从堆栈中弹出并保持状态 q1。如果在状态 q1 中的字符串中的下一个 0 并且堆栈为空，则移动到状态 z 并将 0 压入堆栈。如果字符串为空且堆栈顶部有一个 $，则弹出 $ 并进入状态 F。
这个逻辑如下图所示。
【讨论】：
需要添加两个状态 ?(q1,0,z) = {(q1, 0z)} 和
?(q1,1,z) = {(q1, 1z)}。此外，为了改进答案，请保留一个单独的最终状态，即?(q0,ε,z) = {(qf, ε)}，其中 qf 是最终状态。要检查有效性，可以使用以下字符串（111100、001111、110110、101110、100111、101011 等）
【讨论】：
包含相同个零和一的语言的语法是
S -> 0S1S | 1S0S | epsilon
类似地，包含两倍于 0 的 1 数量的语言的语法是
S -> 0S1S1S | 1S0S1S | 1S1S0S | epsilon
所以 NPDA 将类似于：
从 q0 到 q1：如果您阅读 epsilon 并在堆栈顶部看到 z，则推送 S。
从 q1 到 q1：如果您阅读 epsilon 并看到 S 在堆栈顶部，则 push 0S1S1S 或 push 1S0S1S 或 push 1S1S0S 或 pop。如果您阅读0 并在堆栈顶部看到0，则弹出。如果您阅读了1 并看到堆栈顶部的1，请弹出。
从 q1 到 q2：如果您阅读 epsilon 并在堆栈顶部看到 z，则弹出。
q2 是最终状态。
【讨论】：
思路如下：
每个 0 弹出两个 1 或每个 0 压入两个 0。
每个 1 弹出一个 0 或每个 1 压入一个 1。
【讨论】：