多项式不可约性的错误评估

Question

在我的函数PolynomialIrreducibility() 中，我正在评估输入的多项式是否不可约GF(prime_number)。

void PolynomialIrreducibility () {

    // Enter prime number
    ZZ prime_number;
    ZZ_pX polynom;

    do {
        cout << "Enter prime number: ";
        cin >> prime_number;
    } while (!ProbPrime(prime_number));

    ZZ_p::init(prime_number);   // define GF(prime_number)

    // Enter n
    long n;
    do {
        cout << "Enter n: ";
        cin >> n;
    } while (n < 1);

    BuildIrred(polynom, n);     // generate an irreducible polynomial P of degree n over GF(prime_number)

    ZZ_pE::init(polynom);       // define GF(prime_number^n)

    // Enter polynom
    ZZ_pX input_polynom;
    cout << "Enter polynom: ";
    cin >> input_polynom;
        
    ZZ_pEX convert_polynom;
    conv(convert_polynom, input_polynom);
    
    if (DetIrredTest(convert_polynom)) {
    //if (ProbIrredTest(convert_polynom)) {
    //if (IterIrredTest(convert_polynom) {

        cout << "-> Irreducible polynomial" << endl;
    }
    else {

        cout << "-> Reducible polynomial" << endl;      
    }
}

在使用不可约多项式 x^2 + x + 2 测试实现的函数时，所有三个函数（DetIrredTest、ProbIrredTest、IterIrredTest）用于确定多项式是否不可约，即使它在 GF(3 ) 如下所示。

Enter prime number: 3
Enter n: 2
Enter polynom: [2 1 1]
-> Reducible polynomial

请问，我是以错误的方式评估不可约性还是我做错了什么？

Answer 1

正如 aschepler 所评论的那样，有一个问题，GF(p) 中的 n 次不可约多项式在 GF(p^n) 中是不可约的。它将有 n 个根。我建议进行此更改，以便 DetIrredTest() 在 GF(p) 中运行：

    BuildIrred(polynom, 1);     // build irreducible poly of degree 1

---

我在 GF(3) 中发现了三个不可约多项式，可以用作 GF(9) 的约简多项式：

x^2       + 1     irreducible  (x + 1 is a primitive element)
x^2 +   x + 2     primitive    (x     is a primitive element)
x^2 + 2 x + 2     primitive    (x     is a primitive element)