如何使用稳健的 PCA 输出作为传统 PCA 的主成分（特征）向量

Question

我正在使用 PCA 来降低 N 维数据集的维数，但我想增强对大型异常值的鲁棒性，因此我一直在研究 Robust PCA 代码。

对于传统的 PCA，我使用了 python 的 sklearn.decomposition.PCA，它很好地将主成分作为向量返回，然后我可以将我的数据投影到上面（需要说明的是，我还使用 SVD 编写了我自己的版本，所以我知道该方法是如何工作的）。我发现了一些预编码的 RPCA python 代码（如https://github.com/dganguli/robust-pca 和https://github.com/jkarnows/rpcaADMM）。

第一个代码基于 Candes 等人。 （2009）方法，并返回数据集 D 的低秩 L 和稀疏 S 矩阵。第二个代码使用矩阵分解的 ADMM 方法（Parikh, N., & Boyd, S. 2013）并返回 X_1、X_2、X_3 矩阵.我必须承认，我很难弄清楚如何将这些连接到标准 PCM 算法返回的主轴。任何人都可以提供任何指导吗？

具体来说，在一个数据集 X 中，我有一个由 N 个 3-D 点组成的云。我通过 PCA 运行它：

pca=sklean.decompose.PCA(n_components=3)
pca.fit(X)
comps=pca.components_

这 3 个组件是 3-D 向量，定义了我将所有点投影到的新基础。使用稳健的 PCA，我得到矩阵 L+S=X。然后运行 ​​pca.fit(L) 吗？我原以为 RPCA 会给我返回特征向量，但在构建协方差矩阵或执行 SVD 时有内部步骤来抛出异常值。

也许我认为的“强大的 PCA”不是其他人使用/编码的方式？

Answer 1

robust-pca code 将数据矩阵 D 分解为两个矩阵，L 和 S，它们是“低秩”和“稀疏”矩阵（有关详细信息，请参阅 the paper）。 L 是各种观察之间基本不变的，而 S 是变化的。 the paper 中的图 2 和图 3 给出了一个非常好的示例，来自几个安全摄像头，挑选出静态背景 (L) 和可变性，例如过往的人 (S)。

如果您只想要特征向量，请将 S 视为垃圾（您想要剔除的“大异常值”）并对 L 矩阵进行特征分析。

这是一个使用robust-pca code的例子：

    L, S = RPCA(data).fit()
    rcomp, revals, revecs = pca(L)
    print("Normalised robust eigenvalues: %s" % (revals/np.sum(revals),))

这里，pca 函数是：

def pca(data, numComponents=None):
    """Principal Components Analysis

    From: http://stackoverflow.com/a/13224592/834250

    Parameters
    ----------
    data : `numpy.ndarray`
        numpy array of data to analyse
    numComponents : `int`
        number of principal components to use

    Returns
    -------
    comps : `numpy.ndarray`
        Principal components
    evals : `numpy.ndarray`
        Eigenvalues
    evecs : `numpy.ndarray`
        Eigenvectors
    """
    m, n = data.shape
    data -= data.mean(axis=0)
    R = np.cov(data, rowvar=False)
    # use 'eigh' rather than 'eig' since R is symmetric,
    # the performance gain is substantial
    evals, evecs = np.linalg.eigh(R)
    idx = np.argsort(evals)[::-1]
    evecs = evecs[:,idx]
    evals = evals[idx]
    if numComponents is not None:
        evecs = evecs[:, :numComponents]
    # carry out the transformation on the data using eigenvectors
    # and return the re-scaled data, eigenvalues, and eigenvectors
    return np.dot(evecs.T, data.T).T, evals, evecs