获取加起来等于给定数字的所有可能总和

Question

我正在为安卓制作一个数学应用程序。在这些字段之一中，用户可以输入一个 int（无数字且大于 0）。这个想法是得到所有可能的总和，使这个整数，没有双打（在这种情况下为 4+1 == 1+4）。唯一已知的就是这个 int。

例如：

假设用户输入4，我希望app返回：

• 4
• 3+1
• 2+2
• 2+1+1
• 1+1+1+1

显然 4 == 4 所以也应该添加。关于我应该如何做这件事的任何建议？

Answer 1

这是一个声称可以做到这一点的简单算法

来自：http://introcs.cs.princeton.edu/java/23recursion/Partition.java.html

public class Partition { 

    public static void partition(int n) {
        partition(n, n, "");
    }
    public static void partition(int n, int max, String prefix) {
        if (n == 0) {
            StdOut.println(prefix);
            return;
        }

        for (int i = Math.min(max, n); i >= 1; i--) {
            partition(n-i, i, prefix + " " + i);
        }
    }


    public static void main(String[] args) { 
        int N = Integer.parseInt(args[0]);
        partition(N);
    }

}

Answer 2

有一些简短而优雅的递归解决方案可以生成它们，但以下可能更容易在现有代码中使用和实现：

import java.util.*;

public class SumIterator implements Iterator<List<Integer>>, Iterable<List<Integer>> {

  // keeps track of all sums that have been generated already
  private Set<List<Integer>> generated;

  // holds all sums that haven't been returned by `next()`
  private Stack<List<Integer>> sums;

  public SumIterator(int n) {

    // first a sanity check...
    if(n < 1) {
      throw new RuntimeException("'n' must be >= 1");
    }

    generated = new HashSet<List<Integer>>();
    sums = new Stack<List<Integer>>();

    // create and add the "last" sum of size `n`: [1, 1, 1, ... , 1]
    List<Integer> last = new ArrayList<Integer>();
    for(int i = 0; i < n; i++) {
      last.add(1);
    }
    add(last);

    // add the first sum of size 1: [n]
    add(Arrays.asList(n));
  }

  private void add(List<Integer> sum) {
    if(generated.add(sum)) {
      // only push the sum on the stack if it hasn't been generated before
      sums.push(sum);
    }
  }

  @Override
  public boolean hasNext() {
    return !sums.isEmpty();
  }

  @Override
  public Iterator<List<Integer>> iterator() {
    return this;
  }

  @Override
  public List<Integer> next() {
    List<Integer> sum = sums.pop();                         // get the next sum from the stack
    for(int i = sum.size() - 1; i >= 0; i--) {              // loop from right to left
      int n = sum.get(i);                                   //   get the i-th number
      if(n > 1) {                                           //   if the i-th number is more than 1
        for(int j = n-1; j > n/2; j--) {                    //     if the i-th number is 10, loop from 9 to 5
          List<Integer> copy = new ArrayList<Integer>(sum); //       create a copy of the current sum
          copy.remove(i);                                   //       remove the i-th number
          copy.add(i, j);                                   //       insert `j` where the i-th number was
          copy.add(i + 1, n-j);                             //       insert `n-j` next to `j`
          add(copy);                                        //       add this new sum to the stack
        }                                                   //     
        break;                                              //   stop looping any further
      }                                                     
    }
    return sum;
  }

  @Override
  public void remove() {
    throw new UnsupportedOperationException();
  }
}

你可以这样使用它：

int n = 10;
for(List<Integer> sum : new SumIterator(n)) {
  System.out.println(n + " = " + sum);
}

将打印：

10 = [10] 10 = [6, 4] 10 = [6, 3, 1] 10 = [6, 2, 1, 1] 10 = [7, 3] 10 = [7, 2, 1] 10 = [8, 2] 10 = [9, 1] 10 = [5, 4, 1] 10 = [5, 3, 1, 1] 10 = [5, 2, 1, 1, 1] 10 = [8, 1, 1] 10 = [7, 1, 1, 1] 10 = [4, 3, 1, 1, 1] 10 = [4, 2, 1, 1, 1, 1] 10 = [6, 1, 1, 1, 1] 10 = [5, 1, 1, 1, 1, 1] 10 = [3, 2, 1, 1, 1, 1, 1] 10 = [4, 1, 1, 1, 1, 1, 1] 10 = [3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] 10 = [2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] 10 = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

Answer 3

这是称为partitions 的数学概念。一般来说，这很……困难，但有一些技术适用于少数人。从 wiki 页面链接的大量有用内容。

Answer 4

对于数字 N，您知道最大项数是 N。因此，您将从枚举所有这些可能性开始。

对于每个可能的术语数量，都有许多可能性。这个公式现在让我无法理解，但基本上，这个想法是从 (N+1-i + 1 + ... + 1) 开始，其中 i 是项数，然后将 1 从左向右移动，第二种情况会是 (Ni + 2 + ... + 1) 直到你不能做另一个动作而不导致一个未排序的组合。

（另外，你为什么又给这个机器人加了标签？）

Answer 5

这与subset sum problem 算法有关。

N = {N*1, (N-1)+1, (N-2)+2, (N-3)+3 .., N-1 = {(N-1), ((N-1)-1)+2, ((N-1)-1)+3..}

等等。

所以这是一个涉及替换的递归函数；但是，在处理大量数字时这是否有意义，您必须自己决定。

Answer 6

所有这些解决方案似乎都有些复杂。这可以通过简单地“增加”一个初始化为包含 1's=N 的列表来实现。

如果人们不介意从 c++ 转换，以下算法会产生所需的输出。

bool next(vector<unsigned>& counts) {
    if(counts.size() == 1)
        return false;

    //increment one before the back
    ++counts[counts.size() - 2];

    //spread the back into all ones
    if(counts.back() == 1)
        counts.pop_back();
    else {
        //reset this to 1's
        unsigned ones = counts.back() - 1;
        counts.pop_back();
        counts.resize(counts.size() + ones, 1);
    }
    return true;
}

void print_list(vector<unsigned>& list) {
    cout << "[";
    for(unsigned i = 0; i < list.size(); ++i) {
        cout << list[i];
        if(i < list.size() - 1)
            cout << ", ";
    }
    cout << "]\n";
}

int main() {
    unsigned N = 5;
    vector<unsigned> counts(N, 1);
    do {
        print_list(counts);
    } while(next(counts));
    return 0;
}

对于 N=5，算法给出以下结果

[1, 1, 1, 1, 1]
[1, 1, 1, 2]
[1, 1, 2, 1]
[1, 1, 3]
[1, 2, 1, 1]
[1, 2, 2]
[1, 3, 1]
[1, 4]
[2, 1, 1, 1]
[2, 1, 2]
[2, 2, 1]
[2, 3]
[3, 1, 1]
[3, 2]
[4, 1]
[5]