近似 R 中二项式随机变量之和的分布

Question

我的目标是近似二项式变量总和的分布。 我使用 Ken Butler 和 Michael Stephens 的以下论文 The Distribution of a Sum of Binomial Random Variables。

我想编写一个 R 脚本来找到二项式总和的 Pearson 近似值。 有一个 R-package PearsonDS 允许以简单的方式执行此操作。

因此，我从论文中获取第一个示例，并尝试找出这种情况下 Pearson 分布的密度。 最后我收到一条错误消息“这些时刻没有概率分布”。

你能解释一下下面的代码有什么问题吗？

library(PearsonDS)

# 定义五个二项式随机变量的参数

n<-rep(5,5)
p<-seq(0.02,0.10,0.02)

# 找出前四个累积量

k.1<-sum(n*p)
k.2<-sum(n*p*(1-p))
k.3<-sum(n*p*(1-p)*(1-2*p))
k.4<-sum(n*p*(1-p)*(1-6*p*(1-p)))

# 求偏度和峰度参数

beta.1<-k.3^2/k.2^3
beta.2<-k.4/k.2^2

# 定义矩并计算

moments <- c(mean=k.1,variance=k.2,skewness=sqrt(beta.1),kurtosis=beta.2)
dpearson(1:7,moments=moments)

我收到错误消息“这些时刻没有概率分布”。

Answer 1

您尝试在瞬间插入的峰度实际上是超峰度，即kurtosis - 3。来自dpearson()的帮助页面：

时刻：
平均值、方差、偏度、峰度（不是过度峰度）的可选向量/列表。

所以将 3 添加到 beta.2 将为您提供真正的峰度：

beta.1 <- (k.3^2)/(k.2^3)
beta.2 <- k.4/(k.2^2)
kurt <- beta.2 + 3

moments <- c(mean = k.1, variance = k.2, skewness = beta.1, kurtosis = kurt)
dpearson(1:7, moments=moments)
# [1] 0.3438773545 0.2788412385 0.1295129534 0.0411140817 0.0099279576
# [6] 0.0019551512 0.0003294087

为了得到论文中的结果，我们应该研究累积分布函数并添加 0.5 来校正由连续分布逼近离散分布引起的偏差：

ppearson(1:7+0.5, moments = moments)
# [1] 0.5348017 0.8104394 0.9430092 0.9865434 0.9973715 0.9995578 0.9999339

一点背景资料：

函数抛出错误，因为峰度和偏度之间的关系并非无效：峰度以下列方式受偏度的下限：kurtosis >= (skewness)^2 - 1。证明并不漂亮，当然超出了问题的范围，但如果您喜欢这个不等式的不同版本，可以查看下面的参考资料。

1. 威尔金斯，J.欧内斯特。关于偏度和峰度的注释。安。数学。统计学家。 15 (1944), 没有。 3、333--335。 http://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177731243。
2. K.皮尔逊。对进化论的数学贡献，XIX；关于偏斜变化的回忆录的第二个补充。菲洛斯。反式。罗伊。社会党。伦敦爵士。 A, 216 (1916), p. 432http://rsta.royalsocietypublishing.org/content/216/538-548/429
3. 皮尔逊，K.（1929 年）。 “对‘频率函数矩和各种统计常数的不等式’的编辑说明”。生物计量学。 21（1-4）：361-375。 link