四元数和归一化

Question

我知道如果我想旋转一个向量，需要对四元数进行归一化。

但是有什么理由不自动规范化四元数吗？如果有，哪些四元数运算会导致非归一化四元数？

• 两个四元数相乘？
• 点积？

对不起，如果这个问题有点模糊。我仍在尝试围绕四元数。

Answer 1

你的问题是模棱两可的，但如果你需要标准化一个四元数很简单

q_normalized = q /square(norm(q))

与，q = q1 +q2i +q3 j +q4 k 范数 (q) = (q1)^2 + (q2)^2 + (q3)^2) + (q4)^4

如果要向我解释你的问题

Answer 2

使用 NONunit 四元数会很有效。

只有少数操作需要单位长度，例如插值。

一些提示：

1. 创建和转换为非单位四元数会更有效。
2. 从非单位四元数转换为矩阵仍然很快。只需补偿四元数平方的比例即可。
3. 将矩阵转换为非单位 quat 的速度更快。

所以不需要只使用单位四元数，这只是常见的做法。对于每个用例，您都可以决定是否使用规范化。我个人更喜欢使用非单位四元数。

警告：通常，在使用单位四元数时，我们会忘记数值错误。例如，从/到矩阵四元数转换并认为它仍然是单位会使数值不稳定，矩阵被缩放，提取的四元数是无效的。你可以很容易地做这样的实验。

Answer 3

任何产生四元数的运算都需要归一化，因为浮点进动错误会导致它不是单位长度。

出于性能原因，我建议不要使用标准例程自动执行标准化。任何称职的程序员都应该意识到精度问题，并能够在必要时对数量进行归一化 - 并不总是需要有单位长度的四元数。

向量运算也是如此。

Answer 4

如果一个单位四元数是通过对其一阶时间导数进行数值积分获得的，积分器可以使用简单的误差反馈自动对其进行归一化。

令q 表示一个4×1 列的四元数矩阵，dq 表示它的时间导数。然后将 dq+0.5(1-qq)q/tau 发送到积分器代替 dq 并使用合适的时间常数 tau 将连续标准化q。 q.q 表示内积。

我模拟了一个保守的、铰接式 Bricard 机构在无重力空间中漂浮 360 万秒，也就是将近 42 天。四元数代表浮动基体的方向。使用 0.5 秒的时间常数 tau，总能量保持恒定在百万分之一以内。数值积分器DE采用10^-12的绝对误差容限和0的相对误差容限。

http://www.amazon.com/Computer-Solution-Ordinary-Differential-Equations/dp/0716704617/

四元数通常通过数值积分获得。如果它们没有在积分器内部归一化，那么幅度和相位误差将会累积。归一化四元数沿单位球面移动，其一阶导数与该球面相切。如果四元数偏离单位球面，它将开始累积在积分器外部进行归一化无法纠正的相位误差。因此，四元数必须在数值积分器内连续归一化，以尽量减少相位误差。

Answer 5

有趣的是，构建旋转矩阵是一种不需要归一化四元数的操作，为您节省了一个 sqrt：

M = [w*w+x*x-y*y-z*z, 2*(-w*z+x*y),    2*(w*y+x*z);
     2*(w*z+x*y),     w*w-x*x+y*y-z*z, 2*(-w*x+y*z);
     2*(-w*y+x*z),    2*(w*x+y*z),     w*w-x*x-y*y+z*z] / (w*w+x*x+y*y+z*z)

（以 MATLAB 风格的表示法）用于四元数 w+x*i+y*j+z*k。

此外，如果您使用齐次坐标和 4x4 变换矩阵，您还可以节省一些除法操作：只需将 3x3 旋转部分作为四元数归一化，然后将其平方长度放入 (4,4 )-元素：

M = [w*w+x*x-y*y-z*z, 2*(-w*z+x*y),    2*(w*y+x*z),     0;
     2*(w*z+x*y),     w*w-x*x+y*y-z*z, 2*(-w*x+y*z),    0;
     2*(-w*y+x*z),    2*(w*x+y*z),     w*w-x*x-y*y+z*z, 0;
     0,               0,               0,               w*w+x*x+y*y+z*z].

乘以平移矩阵等，像往常一样进行完整的转换。这样你就可以做到，例如，

[xh yh zh wh]' = ... * OtherM * M * [xold yold zold 1]';
[xnew ynew znew] = [xh yh zh] / wh.

当然，仍然建议至少偶尔标准化四元数（其他操作也可能需要它）。

Answer 6

反应迟缓；此答案适用于将来遇到此问题的人，而不是提问者。

我不同意其他两个关于仅偶尔归一化四元数的答案。使用四元数旋转/变换向量或生成旋转/变换矩阵的标准公式隐含地假设四元数是标准化的。使用非归一化四元数导致的误差与四元数幅度的平方成正比。最好避免二次误差增长。

如果您经常标准化，则不需要平方根。一阶近似效果很好。这是我将四元数用作 IEEE 双精度数的方法，有点程式化：

double qmagsq = quat.square_magnitude();
if (std::abs(1.0 - qmagsq) < 2.107342e-08) {
    quat.scale (2.0 / (1.0 + qmagsq));
}
else {
    quat.scale (1.0 / std::sqrt(qmagsq));
}

请注意，我使用一阶 Padé 近似值 2.0/(1.0+qmagsq) 而不是一阶泰勒展开式 0.5*(3.0-qmagsq) 来估计 1.0/std::sqrt(qmagsq)。如果有效，这个近似值会用一个简单的除法代替平方根调用。关键是找到该近似值何时有效，这就是神奇数字 2.107342e-08 发挥作用的地方。

为什么要使用 Padé 近似值？两个原因。一种是qmagsq 的值接近 1，1+qmagsq 损失的精度低于3-qmagsq。另一个是与泰勒展开式相比，Padé 近似值将误差减少了三倍。对于介于 0 和 2 之间的 qmagsq 值，此近似值的误差小于 (1-qmagsq)^2 / 8。幻数 2.107342e-08 表示此错误超过 IEEE 双倍 ULP 的一半。如果您采取合理的小步骤，则四元数大小的平方将始终在该限制内。你永远不会打电话给sqrt。

如果您使用李群积分技术来传播四元数，这种“始终标准化”范式的一个例外可能是。如果您不知道这意味着什么，您可能正在使用 q(t+Δt) = q(t) + dq(t)/dt*Δt 的等价物来传播四元数。即使您使用的不是李群积分器的高阶积分技术，您仍在某处使用该欧拉步骤。