这是向我提出的作业问题：
一个病人有 n 颗药丸要吃。每天，他可以服用任何一种 药丸或两丸，直到所有药丸都消失。让 T(n) 表示数字 患者可以服用所有 n 颗药丸的不同方式。给出一个封闭的表格 对于 T(n)。 （请注意 - 例如 - 两个序列 (1, 2, 2) 和 (2, 1, 2) 被认为是服用 5 颗药丸的两种不同方式。)
我尝试对 n = 1 到 8 的集合进行处理，看看是否能找到这样的模式：
n=1 {1} n=2 {{1,1},{2}} n=3 {{1,1,1},{1,2},{2,1}} n=4 {{1,1,1,1},{1,1,2},{1,2,1},{2,1,1},{2,2}} ...
但是没办法。 n=1-8 的组合是 1,2,3,5,8,12,18,25
有人有想法吗？
【问题讨论】：
标签： algorithm time time-complexity combinatorics
您的示例在 8 之后显示错误值（应该是 13...）。
考虑下一种方法：在最后一天，患者可以吃一粒或两粒（n = (n-1) + 1 或 n = (n-2) + 2）。所以组成 T(n) 值的方法数是
T(n) = T(n-1) + T(n-2)
对 T(n-1) 和 T(n-2) 重复相同的过程，您将在 T(0) 或 T(1) 处完成 - 这些值显然等于 1。
因此构建循环序列并解决任何 n 的循环。
请注意，您可以从末尾展开循环（递归方法）并从 0/1 - 迭代方法开始。
当您找到正确的值时，您可能会发现它们形成了著名的序列并阅读了更多相关信息。
【讨论】：
{2,1,1,2}
这是解决此问题的另一种方法，当您将其视为排列和组合问题时，它会变得非常有趣。
我们一起来
n = 6 as a example,
我们说
d = number of days patient takes to take all n pills
maximum number of days patient can take those pills are 6. (1 for each day).
minimum would be 3. (2 for every day).
when d = 6 => {1,1,1,1,1,1}
so when d = 3 => {2,2,2}
when d = 4 => {1,1,2,2}. patient can take this pills in any order in those 4 days.
so number of combinations are = 4!/2!2! = 4C2.
when d = 5 => {1,1,1,1,2}.
number of combinations = 5!/4!1! = 5C1.
when d = 6 => {1,1,1,1,1,1}.
number of combinations = 6!/6!0! = 6C0.
让，回到最少天数，
when d = 3 => {2,2,2} => 3!/0!3! => 3C3.
现在你可以很容易地在阶乘中看到一个模式，
when d = d => d!/(numberOf1s)!*(numberOf2s)!.
这么多不同的方式 患者可以服用全部 6 颗药丸
T(6) = 3C3 + 4C2 + 5C1 + 6C0.
T(6) = 1 + 6 + 5 + 1
T(6) = 13;
根据上面的模式，这里是算法，
d_M - maximum number of days;
d_m - minimum number of days;
T(n) - number of different ways the patient can take all n pills
这就是你可以用简单的javascript做到这一点的方法，
function numberOfDiffWays(n){
var dmin = Math.ceil(n/2);
var dmax = n;
var sum = 0;
for(var d= dmin; d<=dmax; d++){
sum = sum + nCr(d,(2*d-dmax));
}
return sum;
}
function nCr(n,r) {
return fact(n) / (fact(r) * fact(n - r));
}
function fact(n) {
return n==0 ? 1: n*fact(n-1);
}
console.log("n=1: " + numberOfDiffWays(1)); // 1
console.log("n=2: " + numberOfDiffWays(2)); // 2
console.log("n=3: " + numberOfDiffWays(3)); // 3
console.log("n=4: " + numberOfDiffWays(4)); // 5
console.log("n=5: " + numberOfDiffWays(5)); // 8
console.log("n=6: " + numberOfDiffWays(6)); // 13
console.log("n=7: " + numberOfDiffWays(7)); // 21
希望对你有帮助。
【讨论】：