简单的迭代算法

Question

如果给定一个非线性方程系数数组和某个范围，我们如何在给定范围内找到该方程的根？

例如：等式是

所以系数数组将是 a 的数组。假设方程是

那么系数数组就是{ 1, -5, -9, 16 }。

正如谷歌所说，首先我们需要将给定的函数（实际上是方程）变形为其他函数。例如。如果给定的方程是y = f(x)，我们应该定义其他函数，x = g(x)，然后执行算法：

while (fabs(f(x)) > etha)
  x = g(x);

找出根。

问题是：如何使用系数数组和仅给出的范围来定义g(x)？

问题是：当我这样定义g(x)时

或

对于给定的方程，x 的任何起始值都会引导我找到第二个方程的根。没有人会给我另外两个（根是{ -2.5, 1.18, 6.05 }，我的代码只给1.18）。

我的代码是这样的：

float a[] = { 1.f, -5.f, -9.f, 16.f }, etha = 0.001f;

float f(float x)
{
    return (a[0] * x * x * x) + (a[1] * x * x) + (a[2] * x) + a[3];
}

float phi(float x)
{
    return (a[3] * -1.f) / ((a[0] * x * x) + (a[1] * x) + a[2]);
}

float iterationMethod(float a, float b)
{
    float x = (a + b) / 2.f;

    while (fabs(f(x)) > etha)
    {
        x = phi(x);
    }

    return x;
}

因此，调用iterationMethod() 传递范围{ -3, 0 }、{ 0, 3 } 和{ 3, 10 } 将提供三次1.18 号码。

我哪里错了，我应该如何做才能让它正常工作？

UPD1：我不需要任何第三方库。

UPD2：我需要“简单迭代”算法。

Answer 1

更传统的求根算法之一是Newton's method。迭代步骤涉及找到函数的一阶逼近的根

所以如果我们有一个函数'f'并且在一个点x0，线性一阶近似将是

f_(x) = f'(x0)*(x - x0) + f(x0)

而对应的近似根x'是

x' = phi(x0) = x0 - f(x0)/f'(x0)

（请注意，您需要方便地使用导数函数，但对于多项式应该很容易获得它）

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牛顿方法的优点是易于实现，而且通常非常快。坏事是它有时表现不佳：该方法在具有 f'(x) = 0 的点上失败，并且某些函数中的某些输入可能会发散（因此您需要检查并在需要时重新启动）。

Answer 2

您在评论中发布的link 解释了为什么您无法使用此算法找到所有根 - 只有当 |phi'(x)| < 1 围绕根时它才会收敛到根。多项式的任何根都不是这种情况。对于大多数起点，迭代最终会围绕中间根反弹，并最终意外接近它；几乎可以肯定，无论从哪里开始，它都不会足够接近其他根源。

要找到所有三个根，您需要一个更稳定的算法，例如 Newton's method（在您链接到的 tutorial 中也有描述）。这也是一种迭代方法；您可以使用迭代 x -> x - f(x)/f'(x) 找到 f(x) 的根。这仍然不能保证收敛，但收敛条件要宽松得多。对于您的多项式，它可能看起来有点像这样：

#include <iostream>
#include <cmath>

float a[] = { 1.f, -5.f, -9.f, 16.f }, etha = 0.001f;

float f(float x)
{
    return (a[0] * x * x * x) + (a[1] * x * x) + (a[2] * x) + a[3];
}

float df(float x)
{
    return (3 * a[0] * x * x) + (2 * a[1] * x) + a[2];
}

float newtonMethod(float a, float b)
{
    float x = (a + b) / 2.f;
    while (fabs(f(x)) > etha)
    {
        x -= f(x)/df(x);
    }

    return x;
}

int main()
{
    std::cout << newtonMethod(-5,0) << '\n'; // prints -2.2341
    std::cout << newtonMethod(0,5) << '\n';  // prints  1.18367
    std::cout << newtonMethod(5,10) << '\n'; // prints  6.05043
}

还有很多其他的求根算法； here 是一个开始学习的好地方。