我的加泰罗尼亚数字逻辑有什么问题？答案

【问题标题】：What is wrong with my Catalan Number logic?我的加泰罗尼亚数字逻辑有什么问题？
【发布时间】：2011-04-19 14:01:29
【问题描述】：

我想为加泰罗尼亚数字写一个代码。加泰罗尼亚数字定义如下：

C(n) = 2n C n/(n+1)。但我不想计算 (2n C n)，而是想使用以下事实自下而上计算加泰罗尼亚语数字：

Catalan(n) =    
2n! /n! * n! * (n+1)  

Catalan(n+1) =  
2*(n+1)  
--------------------------- =    
(n+1)! * (n+1)! * ((n+1)+1)  

(2n+2) * (2n+1) * 2n!    
------------------------------- =  
(n+1) * n! * (n+1) * n! * (n+2)    

(2n+2) * (2n+1) * 2n!    
----------------------------------- =    
(n+1) * (n+2) * n! * n! * (n+1)    

(2n+2) * (2n+1)    
--------------- * Catalan(n)      
(n+1) * (n+2)

现在利用上述事实，这是我的以下代码：

int catalan(int n)
{
    if (n == 1)
       return 1 //since c(1)=1 is my base case
    else
       return (((2*n+2) * (2*n+1))/((n+1)*(n+2))) * catalan(n-1)
}

现在，我的问题是为什么当我的输入为 4 时，上述函数会返回 12。它应该返回 14，因为 c(4)=14。

有人可以帮帮我吗？

【问题讨论】：

(2n C n) 应该是什么意思？
@Jens Schauder 二项式系数：n 上的 2n

标签： c algorithm math catalan

【解决方案1】：

尽管C(n) 的原始表达式可能是错误的，但实际的重复出现

正确。

你可以进一步简化为

但这给了你C(n+1)C(n)。你想要的是C(n)，就C(n-1)而言。插入n-1获取

还要注意，为了防止整数除法截断你的结果，你需要先乘然后除。

int catalan(int n) {
  if (n == 1)
    return 1; 
  else
    return 2 * (2*n - 1) * catalan(n-1) / (n+1);
}

编辑：如果需要经常使用的值而不是只计算一次，那么使用memoization 可能是个好主意，以避免多次计算它们。

此外，请注意，由于增长率较大，加泰罗尼亚数字会迅速溢出C 具有的任何预定义整数数据类型。

【讨论】：

【解决方案2】：

根据http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number，递推公式为：

C(n+1)=2(2n+1)/(n+1) * C(n) 或 C(n)=2(2(n-1)+1)/n * C(n-1)

我想你已经忘记了从 C(n+1) 到 C(n) 的转换。

【讨论】：

这就是他所拥有的——他刚刚替换了 (n+1)！与 (n+1)*n!
公式是对的，只是编程的时候走心了。
确实，问题不存在。

【解决方案3】：

您的公式中有错误。您的公式用于计算 c(n+1) 但您的输入是 n。这可以通过在计算中使用之前将 n 的值减一来解决：

int catalan(int n)
{
    if (n == 1)
       return 1 //since c(1)=1 is my base case
    else
       n=n-1
       return (((2*n+2) * (2*n+1))/((n+1)*(n+2))) * catalan(n)
}

编辑： 正如 abeln 所指出的，上面的代码将由于整数除法丢弃余数而失败。请改用以下代码：

int catalan(int n)
{
    if (n == 1)
       return 1 //since c(1)=1 is my base case
    else
       n=n-1
       return ((catalan(n) * (2*n+2) * (2*n+1))/((n+1)*(n+2)))
}

【讨论】：

这里的代码会因为整数除法的截断而产生不正确的值。

【解决方案4】：

当您从数学表达式转到代码时，您是在 Catalan() 部分中将 n 隐式替换为 n-1，而不是在表达式本身中。因此，您正在计算值 N 的乘数并将其乘以 C(N-1)。尝试用 N-1 代替等式中的 N，这会导致：

int catalan(int n)
{
    if (n == 1)
       return 1 //since c(1)=1 is my base case
    else
       return (((2*n) * (2*n-1))/((n)*(n+1))) * catalan(n-1)
}

【讨论】：

你测试过你的功能吗？

【解决方案5】：

在你的公式中，你有

         (2n)!
C(n) = ----------------
        (n+1)! * n! * n!

实际上加泰罗尼亚数字被定义为

         (2n)!
C(n) = ----------------
        (n+1)! * n!

即你在分母上的一个阶乘太多了

【讨论】：

同理，因为2n c n /n+1 = 2n!/n!*n!*(n+1)。现在，分母被简化为n+1! = n!*(n+1)，并被替换为那里。都是一样的。