确定递归函数的时间复杂度答案

【问题标题】：Determining time complexity of recursive function确定递归函数的时间复杂度
【发布时间】：2015-08-27 05:25:29
【问题描述】：

我编写了一个计算Catalan Numbers 的递归函数。递归公式为。

我的代码：

def catalan(n): # We call this function. To my opinion it is more elegant.
    d = dict()
    return catalan_rec(n,d)

def catalan_rec(n,d):
    if n == 0:
        result = 1
    elif n in d: return d[n]
    else:
        result = 0
        for i in range(n):
            result += catalan_rec(i,d)*catalan_rec(n-i-1,d)
        d[n] = result
    return result

现在，很明显递归深度是 O(n)。我不确定这个算法的时间复杂度是多少。递归树有 O(n) 个节点，在任何节点（叶子除外）中我们进行两次调用。任何调用都是 O(1)，因为我们只检查字典中是否已经有结果，因此时间复杂度是 O(n)。

我的推理正确吗？

顺便问一下，有没有一个选项可以编写时间复杂度比 O(n^2) 更好的非递归算法？

谢谢！

【问题讨论】：

Python 可能不是实现递归算法的最佳语言，因为它没有适当的递归支持。我相信，在理想情况下，您的推理是正确的，但如果您使用 Python，您的实际运行时间可能无法反映这一点。我建议你看看 Haskell 或 R。
Kwarrtz，我知道 python 的缺点，但我正在大学学习一门课程，他们决定教 python。这是我试图解决的一个测试问题。顺便说一句，in 运行速度很快，比 Haskell 慢不了多少。
@Galc127 没有任何电话是O(1)。请注意，您在这里有for i in range(n)。这不可能在恒定时间内起作用:)
我的建议并不是出于对性能的考虑（尽管我必须看到一个基准才能相信你的说法），而是为了 Python 适合运行递归算法。但是，如果大学课程是 Python 的，你就别无选择了。
@Galc127 时间是 O(1) 如果遵循前两个分支中的任何一个。

标签： python recursion catalan

【解决方案1】：

不确定这是否是您想要的，但根据该页面，您可以编写函数来计算 O(n) 中的加泰罗尼亚数，如下所示：

def catalan(n):
    num, div = 1, 1
    for x in range(n + 2, 2*n + 1):
        num *= x
    for x in range(2, n + 1):
        div *= x
    return num / div

【讨论】：