java代码的时间复杂度

Question

我正在学习 coursera 上的算法课程，但我被困在这个特殊问题上。我应该找到这段代码的时间复杂度。

int sum = 0

 for (int i = 1; i <= N*N; i = i*2)

  {
     for (int j = 0; j < i; j++)
           sum++; 
  }

我在eclipse本身检查过，对于N的任何值，sum语句执行的次数都小于N

final value of sum:
for N=8 sum=3 
for N=16 sum=7 
for N=100000 sum=511

所以时间复杂度应该小于N 但是给出的答案是 N 的 2 次方，这怎么可能？

到目前为止我做了什么：

第一个循环将运行 log(N^2) 次，因此第二个循环将执行 1,2,3.. 2 logN

Answer 1

第一个内部循环将是 1 + 2 + 4 + 8 .. 2^M，其中 2^M 是

2 到 N * N 的幂的总和约为 2 * N * N 或 O(N ^ 2)

注意：当 N=100000 时，N*N 将溢出，因此其结果具有误导性。如果您认为溢出是问题的一部分，那么对于大数来说，总和是相当随机的，因此您可以争论它的 O(1)，即如果 N=2^15，N^2 = 2^30，总和将为整数.MAX_VALUE。没有更高的 N 值会产生更高的总和。

Answer 2

这里有很多混淆，但重要的是Big-O notation 是关于增长率，或者如数学家所说的限制行为。一个函数将在 O(n*n) 中执行意味着执行时间将比例如 n 增加得快，但比例如 2^n 慢.

当使用big-O notation 进行推理时，请记住常量“不算数”。这个特定问题有一些怪癖。

• 如果循环是常规 for 循环，N*N 表达式 it-self 将导致 O(log n*n) 复杂度...
• ...但是，for 循环增量为 i = i*2 导致外部循环大约执行 log n 并且如果内部循环的内容以时间无关的方式运行，则函数将在 O(log n) 中n 个。
• 但同样，内循环运行时间取决于 n，但它不会执行 n*n 次运行，而是大致记录 (n*n)/2 次循环。记住“常数不算数”并且我们最终会得到 O(n*n)。

希望这能解决问题。

Answer 3

所以 sum ++ 将被执行 1 + 2 + 4 + 8 + ... + N*N，总共 log2(N*N) 次。几何级数之和 1 * (1 - 2 ^ log2(N*N)/(1 - 2) = O(N*N)。

Answer 4

你的外循环是log(N^2)->2*log(N)->log(N)，你的内循环是N^2/2->N^2。因此，时间复杂度为 N^2*log(N)。

关于基准，N=8 或 N=16 的值是荒谬的，循环中的时间与设置 JVM、缓存失败等有关。你必须：

从最大的 N 开始，检查它的评估方式。

使用每个 N 值进行多次运行。

认为时间复杂度是衡量当 N 变得非常大时算法如何工作的指标。