一组点中的最大三角形[重复]答案

【问题标题】：Largest triangle from a set of points [duplicate]一组点中的最大三角形[重复]
【发布时间】：2010-06-17 20:20:46
【问题描述】：

可能重复：
How to find largest triangle in convex hull aside from brute force search

我有一组随机点，我想从中找到按面积计算的最大三角形，每个顶点都在其中一个点上。

到目前为止，我已经发现最大三角形的顶点只会位于点云（或凸包）的外部点上，所以我编写了一个函数来做到这一点（在 nlogn 时间内使用 Graham 扫描） .

然而，这就是我卡住的地方。我可以弄清楚如何从这些点中找到最大三角形的唯一方法是在 n^3 时间使用蛮力，这在平均情况下仍然是可以接受的，因为凸包算法通常会剔除绝大多数点。但是，在点在一个圆上的最坏情况下，这种方法会失败。

有谁知道更有效地执行此操作的算法吗？

注意：我知道 CGAL 有这个算法，但他们没有详细说明它是如何完成的。我不想使用库，我想学习这个并自己编程（并且还允许我将它调整到我想要它的操作方式，就像其他实现拾取共线点的格雷厄姆扫描一样我不想）。

【问题讨论】：

CGAL 中执行此操作的例程的名称是什么？
@andand：maximum_area_inscribed_k_gon_2，我想。
@Faken：源代码没有说明 CGAL::maximum_area_inscribed_k_gon_2 使用什么算法。不过，您可能想看看它（cgal.org/Manual/latest/include/CGAL/extremal_polygon_2.h），看看您是否可以重构逻辑。
@Faken：这是stackoverflow.com/questions/1621364/… 的完全相同的副本。接受的答案提供了明确的 O(n) 解决方案。
@andand：我想到了一个类似的方法，但我很快就忽略了它，因为我无法证明它总是会以最大的三角形结束（更糟糕的是，我曾认为我也有一个反例，我忽略了在纸上实际测试）。这个想法非常简单，感谢您向我指出，为我提供了另一种探索途径，但说实话，我仍然有疑问，O(n) 时间？听起来好得令人难以置信。

标签： computational-geometry

【解决方案1】：

不知道这是否有帮助，但是如果您从凸包中选择两个点并旋转该包的所有点，使两个点的连接线平行于 x 轴，则与最大或最小 y 坐标与首先选择的两个点一起形成面积最大的三角形。

当然，一旦您针对所有可能的基线测试了一个点，您就可以将其从列表中删除。

【讨论】：

【解决方案2】：

这是关于如何将其降低到 O(n² log n) 的想法。我对计算几何一无所知，所以我将其标记为社区 wiki；请随时对此进行改进。

通过为每个点找到通过该点的线的斜率范围来预处理凸包，使得集合完全位于线的一侧。然后反转这种关系：为具有叶节点中的点的斜率构造一个区间树，这样当使用斜率查询时，您会找到通过这些点有切线的点。

如果凸包上没有三个或更多共线点的集合，则每个斜率最多有四个点（每边两个），但如果是共线点，我们可以忽略中间点。

现在，遍历凸包上的所有点对 (P,Q)。我们想找到点 R 使得三角形 PQR 的面积最大。以 PQ 作为三角形的底，我们希望通过找到 R 尽可能远离线 PQ 来最大化高度。通过 R 平行于 PQ 的线必须使所有点都位于线的一侧，因此我们可以使用预先构建的区间树在 O(log n) 时间内找到有限数量的候选。

为了在实践中进一步改进这一点，在点对集合中进行分支定界：找到任何三角形高度的上限（例如两点之间的最大距离），并丢弃任何点对其距离乘以这个上限小于目前找到的最大三角形。

【讨论】：

“我对计算几何一无所知，所以我将其标记为社区 wiki[.]”在同一条船上，我想我也会标记我的 CW。
我不知道您为什么将其标记为社区 wiki，任何有用的东西都可以作为实际答案的基础。

【解决方案3】：

我认为rotating calipers方法可能适用于此。

【讨论】：

我在研究过程中遇到了这个问题，但只是一目了然。乍一看，我不太明白这可能是如何工作的，您对此有何看法？
使用计算直径的相同算法：对于每个凸包边，离它最远的点定义了以该边为底的最大三角形。旋转一次，找到整体上最大的三角形。但这不是证据……
所以它会在 n^2 时间内计算。巨大的进步。不幸的是，不能保证最大的三角形在船体上有边缘。以 6 个点构成一个完美的六边形为例。

【解决方案4】：

在我的脑海中，也许你可以做一些涉及网格化/将点集合分成组的事情？也许......将点分成三组（但不确定在这种情况下最好的方法是什么），做一些事情来丢弃每组中比其他点更接近其他两组的点同一组，然后使用剩余的点找到可以在每个组中具有一个顶点的最大三角形？这实际上会使所有点都在一个圆上的情况变得更加简单，因为您只需关注每个组中包含的弧中心附近的点，因为这些点将是每个组中最远的点其他两组。

不过，我不确定这是否会为您提供某些三角形/点分布的正确结果。可能存在结果三角形不是最佳区域的情况，因为分组和/或顶点选择不是/不是最佳的。类似的东西。

无论如何，这些是我对这个问题的看法。我希望我至少能够为您提供有关如何处理它的想法。

【讨论】：

【解决方案5】：

如何从凸包中一次删除一个点？从凸包开始，计算每个三元组相邻点（p1p2p3、p2p3p4 等）形成的三角形的面积。找到面积最小的三角形，然后放下形成该三角形的三个点的中间。（换句话说，如果面积最小的三角形是 p3p4p5，则删除 P4。）现在您有一个具有 N-1 个点的凸多边形。重复相同的过程，直到剩下三个点。这应该需要 O(N^2) 时间。

如果在某些病理情况下这不起作用，我一点也不感到惊讶，但我希望它适用于大多数情况。（换句话说，我还没有证明这一点，也没有可以引用的来源。）

【讨论】：

嗯，不，我不认为这是正确的。考虑一个完美的六边形。我们知道其中最大的三角形将是一个连接其他点的三角形。所描述的算法将首先从删除一个点开始（无论哪个点，它们都是相同的）。我们还剩 5 分。如果该算法将下一个点移到移走的点的左侧或右侧两点，它将产生正确的答案。但是，如果它删除了与删除点相反的点，则会产生错误的答案。很好的尝试，让我思考。