凸包中最大的三角形

Question

这个问题已经回答了，但我面临的主要问题是理解其中一个答案..

从 https://stackoverflow.com/a/1621913/2673063

下面的算法O(n)怎么样？

它声明为 如果需要，首先对点进行排序/计算凸包（在 O(n log n) 时间内），我们可以假设我们有凸多边形/凸包，其中的点按照它们在多边形中出现的顺序循环排序。调用点 1, 2, 3, ... , n。让（变量）点 A、B 和 C，分别从 1、2 和 3 开始（按循环顺序）。我们将移动 A、B、C 直到 ABC 是最大面积三角形。 （这个想法类似于计算直径（最远对）时使用的旋转卡尺方法。）

在 A 和 B 固定的情况下，只要三角形的面积增加，则前进 C（例如，最初，A=1，B=2，C 前进到 C=3，C=4，...），即只要面积(A,B,C) ≤ 面积(A,B,C+1)。对于那些固定的 A 和 B，该点 C 将最大化 Area(ABC)。（换句话说，函数 Area(ABC) 作为 C 的函数是单峰的。）

接下来，如果增加面积，则推进 B（不改变 A 和 C）。如果是这样，再次如上所述推进C。如果可能，然后再次推进 B，等等。这将给出以 A 作为顶点之一的最大面积三角形。 （到这里为止的部分应该很容易证明，只需对每个 A 单独执行此操作就会得到 O(n2)。但请继续阅读。）现在再次推进 A，如果它改善了面积等。 虽然这有三个“嵌套”循环，但请注意，B 和 C 总是“向前”前进，并且它们总共最多前进 2n 次（类似地，A 最多前进 n 次），所以整个事情在 O(n) 时间内运行.

Answer 1

作为问题主题the answer的作者，我觉得有义务对O(n)运行时进行更详细的解释。

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首先，作为一个例子，这里有一张来自论文的图，显示了算法的前几个步骤，用于特定的样本输入（12 边形）。首先我们从 A、B、C 三个连续的顶点开始（图中的第 1 步），只要面积增加就推进 C（第 2 步到第 6 步），然后推进 B，以此类推。

上面带星号的三角形是“锚定的局部最大值”，即最适合给定 A 的三角形（即，推进 C 或 B 会减小面积）。

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就运行时为O(n)而言：让B的“实际”值，根据它增加的次数并忽略回绕，为nB，同样对于C为nC。 （换句话说，B = nB % n 和 C = nC % n。）现在，请注意，

1. ("B 在 A 之前") 无论 A 的值是多少，我们都有 A ≤ nB

2. nB 一直在增加

所以，当 A 从 0 到 n 变化时，我们知道 nB 只在 0 到 2n 之间变化：它最多可以增加 2n 次。同样 nC。这表明算法的运行时间，与 A、B 和 C 递增的总次数成正比，以 O(n) + O(2n) + O(2n) 为界，即 O(n )。

Answer 2

这样想：每个A, B, C 都是指针，在任何给定时刻，都指向凸包的元素之一。由于算法递增它们的方式，它们中的每一个将最多指向凸包的每个元素一次。因此，每一个都将遍历O(n) 元素的集合。它们永远不会被重置，一旦它们中的一个传递了一个元素，它就不会再传递那个元素了。

由于有 3 个指针 (A, B, C)，我们有时间复杂度 3 * O(n) = O(n)。

编辑：

由于代码显示在提供的链接中，听起来它可能不是O(n)，因为B 和C 环绕数组。但是，根据描述，这种环绕听起来没有必要：在看到代码之前，我想象该方法阻止B 和C 超过n 的前进。在那种情况下，肯定是O(n)。但是，由于提供了代码，我不确定。

可能仍然是，由于某种数学原因，B 和 C 在整个算法中仍然只迭代 O(n) 次，但我无法证明这一点。我也不能证明不回绕是正确的（只要您处理索引越界错误）。