查找未排序数组的主导模式

Question

注意，这是家庭作业。

我需要找到一个数组的模式（正值），然后如果模式大于 sizeof(array)/2（主要值）则返回该值。有些阵列两者都没有。 这很简单，但是有一个约束条件是在确定之前不能对数组进行排序，另外，复杂度必须在 O(nlogn) 的数量级上。

使用第二个约束和master theorem，我们可以确定时间复杂度 'T(n) = A*T(n/B) + n^D' 其中 A=B 和 log_B(A)=D O(nlogn) 为真。因此，A=B=D=2。这也很方便，因为显性值必须在数组的第 1、第 2 或两半中占主导地位。

使用 'T(n) = A*T(n/B) + n^D' 我们知道搜索函数将在每个级别 (A) 调用自身两次，在每个级别将问题集除以 2 (乙）。我一直在弄清楚如何让我的算法考虑到每个级别的 n^2。

为此编写一些代码：

int search(a,b) {
    search(a, a+(b-a)/2);
    search(a+(b-a)/2+1, b);
}

我在这里缺少的“粘合剂”是如何组合这些划分的功能，我认为这将实现 n^2 的复杂性。这里有一些技巧，其中主导必须是第一半或第二半或两者的主导，不太确定这对我现在的复杂性约束有何帮助。

我已经写了一些小数组的例子，并且我已经画出了它的划分方式。我似乎无法朝着正确的方向找到一个始终返回主导值的单一方法。

在级别 0，函数需要调用自身来搜索数组的前半部分和后半部分。这需要递归，并调用自己。然后在每一层，它需要执行 n^2 次操作。因此，在数组 [2,0,2,0,2] 中，它会将其拆分为对 [2,0] 的搜索和对 [2,0,2] 的搜索并执行 25 次操作。在 [2,0] 上的搜索将调用在 [2] 上的搜索和在 [0] 上的搜索并执行 4 次操作。我假设这些需要搜索数组空间本身。我打算使用 C++ 并使用 STL 中的东西来迭代和计算值。我可以创建一个大数组，然后通过索引更新计数。

Answer 1

如果某个数字出现超过一半，则可以通过 O(n) 时间复杂度和 O(1) 空间复杂度来完成，如下所示：

int num = a[0], occ = 1;
for (int i=1; i<n; i++) {
    if (a[i] == num) occ++;
    else {
        occ--;
        if (occ < 0) {
            num = a[i];
            occ = 1;
        }
    }
}

由于你不确定这个数是否出现，你需要做的就是先应用上面的算法得到一个数，然后第二次迭代整个数组来得到这个数的出现，并检查它是否大于一半。

Answer 2

如果你只想找到一个数组的主要模式，并递归地做，下面是伪代码：

def DominantMode(array):
    # if there is only one element, that's the dominant mode
    if len(array) == 1: return array[0]
    # otherwise, find the dominant mode of the left and right halves
    left = DominantMode(array[0:len(array)/2])
    right = DominantMode(array[len(array)/2:len(array)])
    # if both sides have the same dominant mode, the whole array has that mode
    if left == right: return left
    # otherwise, we have to scan the whole array to determine which one wins
    leftCount = sum(element == left for element in array)
    rightCount = sum(element == right for element in array)
    if leftCount > len(array) / 2: return left
    if rightCount > len(array) / 2: return right
    # if neither wins, just return None
    return None

上述算法是O(nlogn)时间但只有O(logn)空间。

如果你想找到一个数组的模式（不仅仅是主模式），首先计算直方图。您可以在 O(n) 时间内完成此操作（仅访问数组的每个元素一次），方法是将直方图存储在将元素值映射到其频率的哈希表中。

计算出直方图后，您可以对其进行迭代（最多访问每个元素一次）以找到最高频率。一旦发现频率大于数组大小的一半，您可以立即返回并忽略直方图的其余部分。由于直方图的大小不能大于原始数组的大小，所以这一步也是O(n)时间（和O(n)空间）。

由于这两个步骤都是 O(n) 时间，因此产生的算法复杂度是 O(n) 时间。