我读了for ( x = y; x > 0; x = ( y & (x-1) ) )
生成位掩码 y 的所有子集。
这个迭代是如何工作的？有什么直观的解释吗？
来源：http://codeforces.com/blog/entry/45223
请参阅次优解决方案部分。
【问题讨论】：
x = ( y & (x-1) ) 我无法理解它
标签： algorithm bit-manipulation bitmask
直觉： 作为一个数字，位掩码y 不能有多个y 子集。因此，通过倒计时x，您可以保证通过位掩码命中y 的每个子集。但这会产生很多重复。想想1101。如果您从那开始倒计时并使用y 进行掩码，则序列将继续。 1101、1100、1001、1000、1001、1000 等等。通过将屏蔽操作的结果分配给x，您可以跳到它的最后一次出现。
证明：这导致了一个简单的归纳证明。显然，对于长度为 1 的位串，此过程有效。仅有的两个子集1 和0 按此顺序发出。
现在假设这个过程适用于长度为N 的位串。假设Z 是长度为N 的位串。如果您创建位串0Z，那么您将遵循与Z 相同的顺序，因为减法永远不会打开高阶位。如果您创建位串1Z，则会发生以下情况：对于第一个2^nnz(Z) 步骤，将遵循原始Z 序列，并在前面加上1。对于最后的2^nnz(Z) 步骤，遵循原始的Z 序列，并在前面加上0。由于该过程两次访问较小序列的每个元素，第一次是 1，第二次是 0，因此我们得出结论，该过程发出 1Z 的每个子集。
综合起来，我们看到该过程适用于所有位串。
【讨论】：
m & (i-1) 是如何给出位掩码的所有子集的.. 如果位掩码设置了 n 位，那么它将给我 2^n - 1 个子集.. 我不能弄清楚结果如何
这里使用的第一个简单事实是，如果我们取值7（二进制中的111）并开始重复递减它（一直到0），我们将通过二进制表示
111, 110, 101, 100, 011, 010, 001, 000
它以一种相当明显的方式表示原始 3 集的所有可能子集。
第二个事实是，在二进制中“减少x”（“从x 中减去1”）意味着：将x 的所有位从最不重要（最右边）的一位开始反转到留到（包括）x 表示中的第一个 1。 “向左”在这里的意思是“在增加位重要性的方向上”。
例如
00001000 - 1 = 00000111, i.e. we invert the `1000` tail
01010101 - 1 = 01010100, i.e. we invert just the `1` tail
10000000 - 1 = 01111111, i.e. we invert the whole thing
and so on
递减操作“关闭”二进制表示中最低有效的1 位并“打开”它右侧的所有零位。
现在，第三个事实是，在您的情况下，x 的1 位始终是y 的1 位的子集，因为我们从x = y 开始并在每次迭代中执行x = (whatever) & y .
当我们执行x - 1 时，我们“关闭”（设置为0）x 中的最低1 和“打开”（设置为1）所有0 中的x从最低的1 向右。
当我们在 x = (x - 1) & y 中使用 & y 时，我们“关闭”一些 原始位 x 中的 y 并“打开” x 中 y 的所有低 原始 位。
此时应该已经很明显了，该操作只是x 的“掩码递减”：通过执行x = (x - 1) & y，我们只需递减x 的值，假设只有被@987654355 掩码的位@ 形成x 的值，而所有其他位只是可忽略的“填充位”。
为了与上面的例子相似，递减7，y 的初始值可能看起来像10010100。操作x = (x - 1) & y 会将此值视为某种“分布式 7”（非正式地说）。 x 将通过以下值进行处理
1..1.1.., 1..1.0.., 1..0.1.., 1..0.0.., 0..1.1.., 0..1.0.., 0..0.1.., 0..0.0..
其中. 表示x 的“填充”位，它们并不真正参与这个“掩码减量”操作（实际上它们将是0）。注意与原始示例的相似之处7.
【讨论】：