我的一个同事问了我一个问题：集合o(1) (little o notation) 是空的吗？
我的问题是：o(1) 是一个空集吗？如果没有，有没有o(1)时间复杂度的程序？
提醒，Cormen 对 little-o 的定义：
函数
f(n)被称为在o(g(n))中，如果有任何肯定的话 常量c>0，存在一个常量n0 > 0，使得0 <=f(n) < cg(n)，对于所有n>= n0。
直观地说，如果f(n) 在o(g(n)) 中，如果它在O(g(n)) 中，但这个界限并不紧密。
【问题讨论】：
标签： algorithm big-o time-complexity little-o
集合o(1)不为空。
首先要记住f(x) 在o(g(x)) 中当且仅当
lim_x->无穷大 { f(x) / g(x)} = 0
对于非零 g(x)
但是，更重要的是，f(x) 的候选集是什么？
有些人在所有real functions [1] 上定义它，即f:R->RU{U}（其中 U 对于函数的某些值未定义）。这意味着，我们可以使用任何实到实的函数，包括函数f(x)=1/x。
我们还可以看到g(x)=1 是一个非零函数，而且确实：
lim_x->无穷大 { 1/x / 1} = 0
这意味着，o(1) 包含函数f(x)=1/x，我们可以得出结论该集合不为空。
Knuth 还将函数 g(n) = n^-1 引用为有效函数，并在 his explanation of big O,Omega and Theta (1976) 中使用 O(n^-1)
Others，Cormen 就是其中之一，定义集合为 f:N->N，其中 N={0,1,...}，这也包括f(x)=0，它又保持了存在的条件o(1).[2]
o(1)中没有复杂度函数T(n)的算法
虽然在实数上定义了很少的符号，但我们的算法复杂度函数却没有。它们是在自然数 [3] 上定义的。你要么做指令，要么不做。你不能做一半的指令，或者 e-1 指令。这意味着，复杂函数集是f:N->N。由于没有像“empty program”这样没有指令的东西（回想一下，调用它本身的开销需要时间），它甚至将这个范围缩小到f:N->N\{0}。
换句话说，对于算法T(n) 的任何复杂度函数，以及对于所有n>0、T(n)>0。
我们现在可以回到我们的公式：
lim_x->infinity { T(x) / 1} >= lim_x->infinity { 1 / 1} = 1 > 0
这表明o(1) 中没有正自然函数，我们可以得出结论，没有算法具有o(1) 中的复杂度函数。
脚注：
(1) 如果你不确定，回想一下泰勒级数，在某些时候我们会停止添加无限级数，只是提到它是O(x^n)。我们在这个大 O 符号中“隐藏”的函数不是自然数。
(2)然而，如果我们将集合 N+={1,2,...} 定义为正自然数的集合，并且将 o(g(n)) 定义为正自然函数的子集，则 o (1) 是一个空集，其证明与没有算法具有这种复杂性的证明相同。
(3) 好吧，对于一般情况，图像可以是非自然数，但我们在这里假设最坏情况的复杂性，尽管对于一般情况，这种说法仍然成立，因为没有空程序。
【讨论】：
O(x^n)，尤其是在处理 x0=0 时，以表明当它存在且不为 0 时，它足够小，可以忽略 x 到 x0 的足够接近的值。
f:R->RU{U} 的定义解决了 1/x 未定义为 0 的问题，因为我确实在文献中看到了很多这种特定功能的出现（其中之一在这个答案中提到），我相信这个扩展是有效的。
函数 f(n)=0 在 o(1) 中，所以 o(1) 不为空。因为对于每一个 c>0，f(n)
程序的时间复杂度是否为 o(1) 是一个意见（或定义）问题。如果您认为一个程序可以在没有基本操作的情况下存在，那么它的时间复杂度将在 o(1)。如果你认为一个程序没有基本操作就不能存在，那么无论输入如何，它总是至少需要 1 个时间单位，在 little-o 的定义中选择 c=0.5 可以证明它的时间复杂度是不是 o(1)。
【讨论】：
从little o的定义可知，要满足这个条件（即o(1)），必须有一个算法可以在任意短时间内完成。
这与图灵机的定义相矛盾，图灵机需要“将无限带标记为正方形（有限大小）”。唯一的解决方案是执行 0 指令的空图灵程序。
但是，这样的程序不能被构建，因为它需要机器，以终止状态开始，因此不能执行任何其他程序并且不是图灵机。
【讨论】：