具有 O(m (log n + log m)) 时间复杂度的算法，用于在 n*m 矩阵中查找第 k 个最小元素，每行排序？答案

【问题标题】：Algorithm with O(m (log n + log m)) time complexity for finding kth smallest element in n*m matrix with each row sorted?具有 O(m (log n + log m)) 时间复杂度的算法，用于在 n*m 矩阵中查找第 k 个最小元素，每行排序？
【发布时间】：2021-04-21 05:22:39
【问题描述】：

我最近遇到了一个面试问题。

我们有m*n 矩阵，使得每一行都按非递减顺序（按不同元素排序）。按照O(m (log m+ log n)) 的顺序设计一种算法，以在该矩阵上找到k-th 最小元素（只有一个元素作为k-th 最小元素）。

我认为这是不可能的，所以在 Google 上搜索并找到 this link 和 another solution 和 this answer to a similar question。

我认为如下：

将所有行的中值放入一个数组中，我们在O(m)中找到这个数组的中值并称之为pivot
我们在O(m log n) 中找到该元素的排名。即：在每一行中有多少元素低于步骤（1）中找到的枢轴。
通过比较k 和“枢轴的排名”，我们可以知道每一行中的右半部分或左半部分有效。（减少到m*n/2 矩阵。）

但是这个算法的时间复杂度是O(m * log^2 n)。可以在O(m (log n + log m)) 上运行的算法是什么？有什么想法吗？

【问题讨论】：

我认为你建议的算法有一个小问题。矩阵不会减少到m * n/2，而是每行将被枢轴大致分成两半。所以在第一次迭代之后，行在一般情况下会有不同的大小。
@fdermishin 所以你的意思是我提出的算法，对吗？时间复杂度正确吗？
算法要求只使用比较操作吗？（例如，基数排序不满足该条件）
特殊情况 m==2 是可能的。对于 m==3，这已经非常困难了。
@user202729 我们可以使用一个技巧吗？我们知道m个排序数组，整个n个元素，我们知道找到第k个元素有O（m log n）个解决方案，这里我们有m个排序数组（m行）和m * n个元素，所以我们得到O（ m (logmn)) 表示 O(m (log (m)+ log (n))

标签： java c++ algorithm math data-structures

【解决方案1】：

m - 行 n - 列

您是否需要具有O(m (log m+ log n)) 复杂性的解决方案？
我能想到一个复杂的解决方案O(k * log-m)，额外空间为 O(m)
- 对于这种复杂性，您可以使用修改后的 PriorityQueue（堆）DataStructure
```
class PQObject {
    int value; // PQ sorting happens on this int..
    int m; // And m and n are positions.
    int n;
}
```
您可以将第一列中的所有值放入优先级队列并开始弹出直到第 k 个最小元素
- 每次弹出时，在弹出的对象中使用 m 和 n 重新插入行的下一个值。
最终问题归结为在 M 个已排序的数组中找到第 k 个最小的元素。

【讨论】：

！！这里只对行进行排序，而不是列和行
是的，只是对行进行了排序。所以我为第一列的值创建了一个 PQ。并将跟踪每个元素属于哪一行。我将从 PQ 中弹出，它将返回第一个最小的元素。然后将弹出的下一行元素插入到 PQ 中，并将再次弹出。这就是为什么问题很简单 -> 在 M 个排序的数组中找到第 k 个最小的元素。