是什么让这个素数分解如此有效？答案

【问题标题】：What makes this prime factorization so efficient?是什么让这个素数分解如此有效？
【发布时间】：2015-07-27 12:06:02
【问题描述】：

我一直在做一些 Project Euler 问题来学习/练习 Lua，而我最初找到最大素因数 n 的快速而肮脏的方法非常糟糕，所以我查阅了一些代码以了解如何其他人正在这样做（试图了解不同的分解方法）。

我遇到了以下问题（最初是在 Python 中 - 这是我的 Lua）：

function Main()
    local n = 102
    local i = 2
    while i^2 < n do
        while n%i==0 do n = n / i end
        i = i+1
    end
    print(n)
end

这在非常很短的时间内 - 几乎立即产生了巨大的数字。我注意到的关于算法的事情是我不会猜到的：

n = n / i

这似乎存在于所有体面的算法中。我用较小的数字在纸上计算出来，我可以看到它使数字收敛，但我不明白为什么这个操作会收敛到最大的素因子上。

谁能解释一下？

【问题讨论】：

尝试使用较大的素数，例如 n = 10^18 + 3。当有更有效的因式分解算法可用时，算法仍然是 O(sqrt(n))
一个相当简单的算法是 Pollard 的 rho 算法，预期复杂度为 O(n^(1/4))

标签： algorithm prime-factoring

【解决方案1】：

在这种情况下，i 是主要因素候选者。考虑一下，n 由以下素数组成：

n = p1^n1 * p2^n2 * p3^n3

当i 到达p1 时，语句n = n / i = n / p1 会删除一次出现的p1：

n / p1 = p1^(n-1) * p2^n2 * p3^n3

只要n 中有p1s，内部while 就会迭代。因此，在迭代完成后（当i = i + 1 被执行时），所有出现的p1 都已被删除，并且：

n' =  p2^n2 * p3^n3

让我们跳过一些迭代，直到 i 达到 p3。那么剩下的n就是：

n'' = p3^n3

在这里，我们发现代码中的第一个错误。如果 n3 为 2，则外部条件不成立，我们仍然使用 p3^2。应该是while i^2 <= n。

和以前一样，内部的while 删除了所有出现的p3，给我们留下了n'''=1。这是第二个错误。它应该是 while n%i==0 and n>i（不确定 LUA 语法），它保留了最后一次出现。

所以上面的代码适用于所有数字n，其中最大的素数只出现一次，通过连续删除所有其他因素。对于所有其他数字，上述更正也应使其正常工作。

【讨论】：

【解决方案2】：

这消除了n 之外的所有已知较小的素因数，因此n 变得更小，并且可以更早地达到sqrt(n)。这提高了性能，因为您不再需要将数字计算为原始 N 的平方根，例如如果 n 是一百万，它由 2 和 5 组成，并且对所有已知素数的天真查询需要检查所有质数最高为 1000，而将其除以 2 得到 15625，然后除以 5 得到 1（顺便说一下，您的算法将返回 1！ 要修复，如果您的循环以 n=1 退出，请返回i 代替。）分两步有效地分解大数字。但这仅适用于“普通”数字，它们有一个高质数分母和一堆较小的数，但分解一个数字 n=p*q 而p 和 q 都是质数并且接近不会能够从这种提升中受益。

n=n/i 行有效，因为如果您正在寻找除 i 之外的另一个素数，那么您当前发现您是一个除数，根据素数的定义，结果也可以被该素数整除。在这里阅读：https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_arithmetic。这也仅适用于您的情况，因为您的 i 从 2 向上运行，因此您首先除以素数，然后除以它们的复合数。否则，如果您的数字将 3 作为最大素数，也可以被 2 整除，并且您首先检查 6，那么您将破坏仅除以素数的原则（例如，如果您首先除以 6，则使用 72，你最终会得到 2，而答案是 3) 意外除以最大素数的合数。

【讨论】：

【解决方案3】：

这个算法（修正后）需要 O(max(p2,sqrt(p1))) 步来找到 n 的素因子分解，其中 p1 是最大的素因子，p2 是第二大的素因子。在重复最大素因数的情况下，p1=p2。

Knuth 和 Trabb Pardo 研究了此函数的行为 "Analysis of a Simple Factorization Algorithm" Theoretical Computer Science 3 (1976) 321-348。他们反对通常的分析，例如计算最大为 n 的整数时所采取的平均步数。尽管一些具有大素因数的数字提高了平均值，但在密码学上下文中，可能更相关的是一些百分位数非常低。例如，44.7% 的数字满足max(sqrt(p1),p2)<n^(1/3)，1.2% 的数字满足max(sqrt(p1),p2)<n^(1/5)。

一个简单的改进是在找到一个新的素因子后测试余数的素数。测试一个数是否是素数是非常快的。通过避免 p2 和 sqrt(p1) 之间的试验划分，这减少了 O(p2) 的时间。第二大素数的中位数约为 n^0.21。这意味着使用这种对试除法的改进可以快速（在几处理器秒内）分解许多 45 位数字。相比之下，根据一个模型，对两个素数的乘积进行 Pollard-rho 分解平均需要 O(sqrt(p2)) 步。

【讨论】：