为什么这个主要测试有效？答案

【问题标题】：Why does this prime test work?为什么这个主要测试有效？
【发布时间】：2013-08-08 00:42:36
【问题描述】：

我找到了这个 Python 函数来测试一个数字是否是素数；但是，我无法弄清楚该算法是如何工作的。

def isprime(n):
   """Returns True if n is prime"""
   if n == 2: return True
   if n == 3: return True
   if n % 2 == 0: return False
   if n % 3 == 0: return False

   i = 5
   w = 2
   while i * i <= n:
      if n % i == 0:
         return False

      i += w
      w = 6 - w

   return True

【问题讨论】：

标签： python algorithm primes

【解决方案1】：

让我们从函数代码的前四行开始：

def isprime(n):
    if n == 2: return True
    if n == 3: return True
    if n % 2 == 0: return False
    if n % 3 == 0: return False

该函数首先测试n 是否等于2 或3。由于它们都是素数，如果n 等于其中一个，函数将返回True。

接下来，该函数测试n 是否可以被 2 或 3 整除，如果其中一个为真，则返回 False。这消除了非常多的情况，因为大于 2 的所有数字中有一半不是素数 - 它们可以被 2 整除。同样的原因也适用于测试可被 3 整除 - 它也消除了大量情况。

函数中比较棘手的部分在接下来的几行中：

i = 5
w = 2
while i * i <= n:
    if n % i == 0:
        return False

    i += w
    w = 6 - w

return True

首先，i（或索引）设置为 5。2 和 3 已经过测试，4 已经用n % 2 进行了测试。所以，从 5 点开始是有意义的。

接下来，w 设置为 2。w 似乎是一个“增量器”。到目前为止，该函数已经测试了所有偶数 (n % 2)，因此增加 2 会更快。

函数进入while 循环，条件为i * i <= n。使用此测试是因为every composite number has a proper factor less than or equal to its square root。在平方根之后测试数字是没有意义的，因为它是多余的。

在while 循环中，如果n 可以被i 整除，则它不是素数，函数返回False。如果不是，i 由“增量器”w 递增，这同样更快。

也许该函数最棘手的部分在于倒数第二行：w = 6 - w。这会导致“增量器”w 在每次通过循环时在值 2 和 4 之间切换。在w 为 4 的情况下，我们绕过了可被 3 整除的数字。这比保持为 2 更快，因为该函数已经测试了可被 2 和 3 整除的能力。

最后，函数返回True。如果函数没有检测到任何n 可以被某物整除的情况，那么它一定是一个素数。

【讨论】：

【解决方案2】：

除了 2 和 3，所有素数都可以用 (6*n)+1 或 (6*n)-1 表示，其中 n 为 0 到无穷大。这个程序是按照这个想法工作的。使用这条线检查号码可以被 2 或 3 整除

 if n % 2 == 0: return False
 if n % 3 == 0: return False

然后我们需要检查数字是否可以被其他大于 3 的素数整除。

i = 5
w = 2
while i * i <= n:
   if n % i == 0:
       return False

   i += w
   w = 6 - w

下一个素数是 5。因此 i 的初始值设置为 5。要获取集合 (6*n)+1 或 (6*n)-1 中的所有数字，或者更改 w (2,4) 的值。而这个 sn-p 用于检查数字的平方根。

 while i * i <= n:

此代码效率不高，因为集合 (6*n)+1 或 (6*n)-1 中有一些非素数。

【讨论】：