如何找到解决任务的数学解决方案？ [关闭]

Question

我正在寻找旧编码竞赛的解决方案，我想知道他们是如何找到这个解决方案的。

问题是这样的：计算 numStart - numEnd 范围内有多少唯一数可以被给定素数列表中的至少一个素数整除。

首先我想“当然，让我们创建一个遍历 numStart - numEnd 范围的 for 循环，并检查我是否可以用至少一个素数来划分我的迭代器”，这可行，但它太慢了。 ..那是我决定检查答案的时候。

我的代码：

# numStart: Start from number
# numEnd: End on number
# numOfPrimes: How many primes will we be checking

numStart,numEnd,numOfPrimes = map(int, input().split())
primes = list(map(int, input().split()))

# Input can look like this:
# >21 180 4
# >7 3 13 2

counter = 0
for testNum in range(numStart, numEnd + 1):
    for prime in primes:
        if testNum % prime == 0:
            counter += 1
            break

print(counter)
# Output would look like this:
# >118

解决办法：

from itertools import combinations

# numStart: Start from number
# numEnd: End on number
# numOfPrimes: How many primes will we be checking

numStart,numEnd,numOfPrimes = map(int, input().split())
primes = list(map(int, input().split()))

# Input can look like this:
# >21 180 4
# >7 3 13 2

result = 0
for j in range(1,numOfPrimes+1):
    for c in combinations(primes, j):
        num = 1
        for x in c: num *= x
        result += (-1)**(len(c)+1) * (numEnd//num - (numStart-1)//num)

print(result)
# Output would look like this:
# >118

我的问题真的是这个人是怎么想出来的？这是什么类型的数学，为什么会这样？

如果你至少能引导我朝着正确的方向前进，我将非常感激！

Answer 1

这里是部分代码的简要总结。

给定的代码中有两个主要思想。第一个想法是，给定一个正整数num（不一定是素数），从numStart 到numEnd 范围内的数字计数可以被num 整除

numEnd//num - (numStart-1)//num

这是因为从1 到numStart 可被num 整除的数字是(numStart-1)//num，从1 到numEnd 是numEnd//num。 （我会让你弄清楚这些公式如何正确处理这些范围的结束值。）

这是第二个想法。该公式适用于给定列表中的每个素数。但问题要求计算该列表中可被“至少一个素数”整除的范围内的数字。如果我们只是将每个素数的计数相加，我们将多次计算可被多个素数整除的数字。处理这些多重计数的标准方法是Inclusion–exclusion principle。如果你对这类问题感兴趣，你应该阅读那篇文章。代码行

for j in range(1,numOfPrimes+1):
    for c in combinations(primes, j):

使c 成为素数列表的非空子集。我上面给你的公式用于查找子集中每个素数乘积的计数，并且乘以因子 (-1)**(len(c)+1) 以进行正确的包含/排除。然后添加所有这些产品。如果您不理解最后一部分，请阅读包含排除文章。我应该补充一点，基本数论告诉我们，当且仅当素数的乘积除以该数字时，不同素数的成员集都可以除以该数字-这就是为什么“素数”限制存在于问题中的原因。

至于这个人是如何得出这个结论的，计算机科学已经表明，没有保证可以找出解决问题的算法的方法。问题解决者只是利用他们的知识、经验、创造力和毅力继续前进，直到问题得到解决。 George Polya 的How to Solve It 一书是关于如何解决问题的经典之作。我向你强烈推荐这本书——它是平装本，而且很便宜。