如何在 MATLAB 中进行 rank-1 分解？答案

【问题标题】：How to do rank-1 factorization in MATLAB?如何在 MATLAB 中进行 rank-1 分解？
【发布时间】：2013-04-08 23:54:11
【问题描述】：

我有一个尺寸为 6x6 的矩阵 M，它的秩为 1。如何将其分解为两个尺寸为 6x1（例如 A）和 1x6（例如 B）的矩阵，以便 M=A*B。

【问题讨论】：

标签： matlab factorization

【解决方案1】：

取最大特征向量乘以最大特征值：

 A=[1 2 3 4]'*[1 2 3 4]
 A =

     1     2     3     4
     2     4     6     8
     3     6     9    12
     4     8    12    16

 [v,e] = eigs(A,1);
 sqrt(e)*v
 ans =

   -1.0000
   -2.0000
   -3.0000
   -4.0000

当然，结果只有在符号改变的情况下才是好的。

编辑：如果您假设这两个向量可以不同：

A=[1 2 3 4]'*[5 6 7 8]
[uu,ss,vv]=svd(A);
u=uu(:,1)*ss(1,1)
v=vv(:,1)
assert(norm(u*v'-A)<1E-10)

现在解决方案更不独特了。您仅根据 n 确定 2*n 值。这是众多解决方案中的一种。

例如，看看另一个更简单的解决方案（假设您的矩阵完全排名 1）：

aa=A(:,:)./repmat(A(1,:),[size(A,1),1]);
bb=A(:,:)./repmat(A(:,1),[1,size(A,2)]);
u=aa(:,1);
v=bb(1,:)'*A(1);
assert(norm(u*v'-A)<1E-10)

它会产生完全不同的结果，但这仍然会分解矩阵。如果您希望非负分解只是为了稍微减少可能结果的空间，我建议您提出一个新问题！

【讨论】：

你假设对于 M=A*B, A=B'，这不是我想要的。
哎呀，真的，让我再想一想。

【解决方案2】：

如果它的排名为 1，则所有列/行都是第一列/行的倍数（或者实际上是任何非零列/行的倍数）。即：

m = M(:,1);
M = [ a*m, b*m, c*m, d*m, e*m, f*m ];

希望你能从那里拿走它。

【讨论】：

对不起，我不明白。什么是 a-f？
@WaqarHameed：标量值。我把它作为练习让读者弄清楚他们的价值观。
对不起。这个问题的目的是确定获得两个矩阵的精确度。您的回答似乎没有表明这一点。
@WaqarHameed：确实应该直接从上面的巨大线索中得出。这里有一个进一步的提示：a 始终是1。 b 必须是什么才能正确生成 M 的第二列？
@WaqarHameed：A*B 可以被视为每次将向量 A 乘以 B 的元素给出的不同数字。所以 M 的第一列将是 A 乘以中的第一个元素B，M 的第 2 列将是 A 乘以 B 的第 2 个元素，依此类推。所以你可以任意设置 A 等于 M 的第一列，这使得 B 的第一个元素等于 1。现在从那里继续。