快速高效的上对角矩阵求逆答案

【问题标题】：Fast and efficient upper diagonal matrix inverse快速高效的上对角矩阵求逆
【发布时间】：2011-06-18 16:01:09
【问题描述】：

我在一个项目中计算了很多次multinomial Gaussian 密度，我将协方差矩阵更新为 rank-1。我没有从头开始计算协方差，而是使用cholupdate 函数将新样本添加到协方差并删除新样本到协方差。通过这种方式，更新被告知在 $O(n^2)$ 中，而不是在协方差矩阵的 $O(n^3)$ 中进行 Cholesky 分解。

persistent R
if (initialize) % or isempty(R)
    % compute covariance V
    R = chol(V);
else
    R = cholupdate(R,xAdded);

detVar = prod(diag(R))^2;
Rt = R';
coeff = 1/sqrt((2*pi)^dimension*detVar);
y = Rt\x;
logp = log(coeff) - 1/2 * norm(y)^2;

其实代码很复杂，我这里简化了。我想知道是否有更快的方法来计算 MATLAB 中上三角矩阵的逆（代码中的 Rt\x 部分）。你有什么想法可以在 MATLAB 中更有效地完成它。

请注意，通过这种方式计算行列式也更快。所以新方法对于行列式的计算也不会差。

【问题讨论】：

标签： matlab matrix covariance gaussian matrix-inverse

【解决方案1】：

mldivide 函数是smart enough 来检查三角矩阵，在这种情况下它使用forward/backward substitution 方法来有效地求解线性系统：

AX=B  <-->  X=inv(A)*B  <-->  X=A\B

（计算 x1，将其代入第二个等式并计算 x2，代入第三个 ...）

【讨论】：

如果有任何一种可以信任的语言来进行高效的矩阵运算，那就是 Matlab。