无包快速矩阵求逆答案

【问题标题】：Fast matrix inversion without a package无包快速矩阵求逆
【发布时间】：2017-11-03 23:57:11
【问题描述】：

假设我有一个正方形matrixM。假设我想invert 矩阵M。

我正在尝试将gmpy2 中的分数mpq 类用作我的矩阵M 的成员。如果你不熟悉这些分数，它们在功能上类似于 python 的内置包fractions。唯一的问题是，除非我将它们从分数形式中取出，否则没有包会反转我的矩阵。我需要分数形式的数字和答案。所以我必须编写自己的函数来反转M。

我可以编写一些已知算法，例如gaussian elimination。但是，性能是一个问题，所以我的问题如下：

有没有一种计算速度很快的算法可以用来计算矩阵的逆矩阵M？

【问题讨论】：

任何合理的快速算法都必须在 C 中实现，作为扩展。另一种方法是将它们全部乘以它们的 GCD，或者只是它们的分母的乘积，以使它们成为整数，并使用带有 C 扩展的包和更多的时间来优化。这是O(n)，所以除非要反转的算法优于O(n)，否则不会影响时间复杂度。
你看过sympy吗？它适用于 gmpy2 和矩阵：docs.sympy.org/dev/modules/matrices/…
是的，但是 sympy 的反演比手动编码高斯消除要慢。我可以与基准共享我的高斯消除代码。

【解决方案1】：

您对这些矩阵还有什么了解吗？例如，对于symmetric positive definite 矩阵，Cholesky 分解允许您比您提到的标准 Gauss-Jordan 方法更快地进行反演。

对于一般的矩阵求逆，Strassen algorithm 将提供比 Gauss-Jordan 更快但比 Cholesky 慢的结果。

您似乎想要精确的结果，但如果您对近似反演没问题，那么有些算法可以比前面提到的算法更快地逼近反演。

但是，您可能想问自己是否需要针对特定应用的整个矩阵逆矩阵。根据您在做什么，使用另一个矩阵属性可能会更快。根据我的经验，计算矩阵逆是一个不必要的步骤。

希望对你有帮助！

【讨论】：