散列时的预期空槽数答案

【问题标题】：Expected Number of empty slots when hashing散列时的预期空槽数
【发布时间】：2014-03-12 14:39:32
【问题描述】：

我有 n 个键和一个大小为 n 的哈希表。

我正在尝试计算预期的空槽数。

我知道统一的散列假设表明每个键都有可能进入任何插槽。

到目前为止，我已经想出了 n 个键，每个键都有 n 个插槽的机会相等，因此有 n^2 种可能的组合。

我不确定从这里去哪里，任何正确方向的点都将不胜感激！谢谢。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

首先，可能的组合数量不是n^2，而是n^n，因为每个n 键都有n 进入插槽的可能性。

接下来，由于所有插槽都是对称的，因此空插槽的预期数量E = n * P，其中P 是每个单个插槽最终为空的概率。这是因为 linearity of expectation 即使在随机值相互依赖时也成立。

现在，请注意Q 单个键没有落在此槽中的概率是Q = (n - 1) / n。

因为有n 键，所以P 没有键落在固定槽中的概率是Q ^ n。

总结一下，我们有E = n * ((n - 1) / n)^n。 (n - 1/n)^n 的限制为1/e (see here)，因此预期的空槽数为n / e。

【讨论】：

我不认为你会说“接下来，由于所有插槽都是对称的，空插槽的预期数量 E = n * P，其中 P 是每个单个插槽结束的概率空的。”仅当空槽是独立事件时才如此。我看不出他们是如何独立的。一个空位显然会影响其他空位的概率。还是我错过了什么？
@Gene：由于期望的线性，这实际上是正确的。我在答案中澄清了这一点。谢谢。