两种选择散列中的预期碰撞对

Question

在二选散列（带链接）中，选择两个随机散列函数 h1、h2 将 n 个键散列到 m 个位置。流程是这样的：

依次插入所有 n 个键，方法是为每个键 x 计算两个哈希函数，并将该键添加到由 h1(x)、h2(x) 索引的较短列表中。令 Y 为 (x, x') 对的数量，使得它们最终出现在同一个链表中。 Y(E[Y]) 的期望是什么？

假设 h1、h2 哈希键一致且独立

Answer 1

我怀疑这个问题是否有一个干净的分析解决方案。

但是对于大量桶的情况产生数值近似是非常容易处理的。设x 为存储的键数与桶数之比。设f<sub>n</sub>(x) 是带有n 键的桶的预期部分，F<sub>n</sub>(x) 是带有最多n 键的桶的预期部分。

然后琐碎地F<sub>n</sub>(x) = f<sub>0</sub>(x) + f<sub>1</sub>(x) + ... + f<sub>n</sub>(x)。而且f<sub>n</sub>'(x) 是添加一个大小为n-1 的桶的概率，减去添加一个键，大小为n 的桶的概率。

一个大小为n的桶被添加到下一个的概率是第一个哈希函数选择一个大小为n的桶，第二个哈希函数选择一个大小至少为n的桶的概率，加上概率第一个哈希函数选择一个大小大于n 的桶，第二个选择一个大小为n 的桶。选择大于n 的桶的概率就是1 - F<sub>n</sub>(x)。所以这个概率是f<sub>n</sub>(x)(1 - F<sub>n-1</sub>(x)) + (1 - F<sub>n</sub>(x))f<sub>n</sub>(x)。

那就是f<sub>n</sub>'(x) = f<sub>n-1</sub>(x)(1 - F<sub>n-2</sub>(x)) + (1 - F<sub>n-1</sub>(x))f<sub>n-1</sub>(x) - f<sub>n</sub>(x)(1 - F<sub>n-1</sub>(x)) - (1 - F<sub>n</sub>(x))f<sub>n</sub>(x)。这是一个可怕的非线性方程组，没有必要期待任何好的解决方案。但它也适用于http://en.wikipedia.org/wiki/Runge%E2%80%93Kutta_methods，您不需要太多的术语来获得准确的估计，因为大量填充的桶的下降速度比指数下降的速度更快。 （要知道为什么，请说服自己，如果n 明显大于x，那么f<sub>n+1</sub>'(x) 大约是f<sub>n</sub><sup>2</sup>(x)。小项的重复平方意味着从f<sub>n</sub>(x) &lt; 0.01 到@ 987654345@.)

Answer 2

这取决于 m。对于 m 为 O(n^(3/2))，E[Y] = O(1)。