时间复杂度与几何级数表达的混淆

Question

我有这个代码：

int count = 0;
    for (int i = N; i > 0; i /= 2) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            count += 1;
        }
    }

它的时间复杂度是 O(n)，我已经明白为什么了，但我不明白为什么他们从分析代码：

n(1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …)

内括号可以看作是log(n)，所以它不是n(log(n))？ （只考虑表达式，不考虑算法）。

例如，我正在分析埃拉托色尼筛法，我得到了类似的表达式：

n/2 + n/3 + n/5 + n/7 + … = n(1/2 + 1/3 + 1/5 +…)

所以括号里面的内容可以看成是loglogn，加上外面的n，最后就是：nloglogn

两者有什么区别：

n(1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …)

到这里O(nloglogn)

从这里出发：

n(1/2 + 1/3 + 1/5 +…)

O(n)?

Answer 1

第一个系列收敛到 2：https://www.wolframalpha.com/input/?i=1+%2B+1%2F2+%2B+1%2F4+%2B+1%2F8+%2B...，因此归结为 O(n)。

第二个系列更难分析，但可以证明与 log(log(n)) 等价（或至少不如快），因此结果为 O(nlog(logn))。示例证明：https://medium.com/@chenfelix/time-complexity-sieve-of-eratosthenes-fb0184da81dc。