如何找到埃拉托色尼筛算法的循环不变量？

【问题标题】：How to find loop invariant of Sieve of Eratosthenes Algorithm?如何找到埃拉托色尼筛算法的循环不变量？
【发布时间】：2020-12-02 09:56:32
【问题描述】：

谁能帮我制作 Eratosthenes 算法的循环不变量？

这里是和平的代码：

埃拉托色尼算法筛是输入：一个整数 n > 1。输出：从 2 到 n 的所有素数。

let A be an array of Boolean values, indexed by integers 2 to n,
initially all set to true.

for i = 2, 3, 4, ..., not exceeding √n do
    if A[i] is true
        for j = i2, i2+i, i2+2i, i2+3i, ..., not exceeding n do
            A[j] := false

return all i such that A[i] is true.

【问题讨论】：

标签： algorithm sieve-of-eratosthenes loop-invariant

【解决方案1】：

在ith 迭代之后，A[x] = false 用于所有 x <= n，其中 x 是任意整数 j 的倍数，因此 2 <= j <= i。

【讨论】：

你能告诉我在这种情况下什么是循环不变量？
这是不变量。这是一个在每次迭代后都保持的属性。如果将n 替换为i，则可以证明整个算法是正确的。

【解决方案2】：

你可以这样做

vector<int> getPrimes(int n) {

  vector<bool> A(n + 1, true);

  for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
    for (int j = i * i; j <= n; j += i) {
      A[j] = false;
    }
  }

  vector<int> primes;

  for (int i = 2; i <= n; i++) {
    if (A[i]) {
      primes.push_back(i);
    }
  }

  return primes;
}

【讨论】：