嵌套循环和 Dijkstra 算法的大 O 表示法

Question

我有以下代码：

for each nodeG in Graph
   for each nodeS in subset
       path(nodeG, nodeS) // using dijkstra that in the best has O(V lg V + E);
   end
end

每次主循环执行时，都会从队列中提取一个顶点。假设图中有V个顶点，队列可能包含O(V)个顶点。假设优先级队列的堆实现，每个弹出操作需要 O(lg V) 时间。所以执行主循环本身所需的总时间是 O(V lg V)。此外，我们必须考虑函数expand所花费的时间，它将函数handle_edge应用于每个传出边。因为每个顶点只调用一次expand，所以每个边只调用一次handle_edge。它可能会调用 push(v')，但在整个执行过程中最多可以有 V 个这样的调用，因此该 case arm 的总成本最多为 O(V lg V)。然而，另一种情况 arm 可能被调用 O(E) 次，并且每次调用 increase_priority 都需要 O(lg V) 时间来实现堆。因此总运行时间为 O(V lg V + E lg V)，即 O(E lg V)，因为 V 是 O(E)，假设一个连通图。

(还有另一种更复杂的优先级队列实现，称为斐波那契堆，它在 O(1) 时间内实现了 increase_priority，因此 Dijkstra 算法的渐近复杂度变为 O(V lg V + E)；然而，较大的常数因子使斐波那契堆在大多数情况下不切实际。）

所以基本上现在对于每个人来说，我们有 O(n^2)。但路径实际上是 Dijkstra 算法，其中 Big Oh 为 O(V lg V + E)。我怎样才能将这个乘以 Big Oh 的总数？

Answer 1

我这样理解你的问题（如果我错了，请纠正我）：

您尝试为图中的每一对节点计算 Dijkstra。所以你在图中有 V(V-1)/2 对（V 是顶点数）。

然后，V(V-1)（即 O(V^2) 次你计算 Dijkstra，它的复杂度为 O(V + ElogV)（我不知道你从哪里得到你的 O(VlogV + E ) 来自，但它可能是不正确的）

总体而言，复杂度为 O(V^2logV + EV^2)