我将如何在 Big Theta Θ 表示法下分析该算法的形式复杂性？答案

【问题标题】：How would I go about analyzing the formal complexity of this algorithm under Big Theta Θ notation?我将如何在 Big Theta Θ 表示法下分析该算法的形式复杂性？
【发布时间】：2015-03-08 22:12:16
【问题描述】：

我需要一些帮助来理解使用Big Theta Θ 表示法的算法分析：

Big O 是比较函数最常用的渐近符号，尽管在许多情况下，Big O 可以用 Big Theta Θ 代替，以获得渐近更紧密的界限。 p>

我将如何逐步分析此算法？我知道最终答案是 ϴ(n²)，但我看不出来。任何帮助将不胜感激。

为简单起见，您可以假设 n = 2k，对于某个正整数 k。

 int a = 0;
 int i = n * n;
 while (i > 0) {
      for (int j = 0; j < i; j++) {
          a++; 
      }
      i = i/2;
 }

【问题讨论】：

标签： java algorithm complexity-theory

【解决方案1】：

让我们暂时忽略i = n * n这一事实，只考虑算法

while(i > 0)
{
    for(int j=0; j<i; j++)
       { a++; }
    i=i/2;
}

i = i/2 表示i 除以2，四舍五入。在最坏的情况下，不会四舍五入。如果i 是2 的幂，就会发生这种情况。假设i == 16。那么i 的值就是16, 8, 4, 2, 1。 for 循环有i 迭代，所以a++; 被执行的总次数是16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31。一般来说，如果i 是2 的幂，a++; 会发生2i - 1 次。从渐近的角度来看，复杂性因此在i 或O(i) 中是线性的。

由于i == n^2，复杂度为O(n^2)。

为了证明它是 Theta(n^2)，我们必须证明运行时间总是大于 n^2 的固定倍数。但在这种情况下，我们可以看到a++ 发生的次数是n^2 的1 次以上，因为n^2 是i 的第一个值。

【讨论】：

您已经证明它是 O(n^2)，但要证明 Theta(n^2)，您还必须证明运行时间（对于大 n）以 n 的倍数为界^2。这是相当明显的，因为第一次执行 j 循环它会循环 n^2 次。
@Anonymous 你是对的。我总是把 O、Theta 和 Omega 搞混。我现在就编辑。

【解决方案2】：

基本上，外部循环控制i 的值。每次循环通过时，i 除以 2。那么循环的初始值为i、i/2、i/4...

内部循环包含i 计算。如果你把它加起来，你会得到i + i/2 + i/4 + i/8 + i/16 + ... <= 2 * i。（<= 因为我们使用的是整数除法，<= 始终是真值）

所以计算总数<= i == 2 * n * n。

我们还可以看到>= i = n*n的计算次数。因为它的上下边界是n*n和2*n*n，所以它是Big Theta(n^2)

【讨论】：

【解决方案3】：

 int a = 0, i=n*n;
 while(i > 0)
 {
      for(int j=0; j<i; j++)
         { a++; }
      i=i/2;
 }

你执行了多少次for循环：

第一次通过 while 循环，i = n^2

第二次，i/2 = (n2)/2

第三，(n2)/4

因此将它们总结为n^2 + n^2/2 + n^2/4 + ....

倾向于2n^2 = O(n^2)，因为大 O 表示法只关心 n 的顺序

【讨论】：

【解决方案4】：

计算a 递增的次数：

n^2 on the first iteration
+
n^2 / 2 on the second iteration
+
...
+
n^2 / 2^k on the (k+1)-th iteration

我们有k = log(n^2) = 2*log(n)，因为我们在每一步都除以2。

所以我们有一个几何级数的总和与第一项n^2、比率1/2 和2*log(n) 项，或者为了更容易，第一项1 和比率2：

S = O(2^(2*log(n))) = O([2^log(n)]^2) = O(n^2)

=> The entire algorithm is BigTheta(n^2)

【讨论】：