lambda 演算的语法树

Question

我试图弄清楚如何为下面的表达式绘制语法树。首先，这究竟是如何表现的？看起来它需要1和2作为参数，如果n为0，它只会返回m。

另外，有人可以指出解析树的起点或示例吗？我还没找到。

Answer 1

一旦定义了函数，您就可以在函数本身上应用参数，从而返回新函数，即应用参数的结果。

我不确定您使用哪种语言编写该代码，但该应用程序会产生如下结果：

\f.\n.\m.if isZero n then m else f (pred n) (succ m)

由于\f是函数的定义，所以上面可以写成：

add = (\n.\m.if (isZero n) then m else add (pred n) (succ m))

以及应用程序：

add = (\n.\m.if (isZero n) then m else add (pred n) (succ m))
add 1 2
(\n.\m.if (isZero n) then m else add (pred n) (succ m)) 1 2

用最里面的参数替换最外面的变量（在本例中，n 为 1）：

((**\n**.\m.if (isZero n) then m else f (pred **n**) (succ m)) **1**) 2
(\m.if (isZero 1) then m else add (pred 1) (succ m)) 2

稍微解决一下：

(\m.if (isZero 1) then m else add **(pred 1)** (succ m)) 2
(\m.if (isZero 1) then m else add 0 (succ m)) 2

应用第二个参数并解决：

(**\m**.if (isZero 1) then **m** else add 0 (succ **m**)) **2**
(if (isZero 1) then 2 else add 0 (succ 2))
(if (isZero 1) then 2 else add 0 **(succ 2)**)
(if (isZero 1) then 2 else add 0 3)

我们知道 (isZero 1) 是假的；所以，我们解决上面的表达式并得到结果：

(if **(isZero 1)** then 2 else add 0 3)
(if False then 2 else add 0 3)
add 0 3

这与将 0 应用于函数 f，然后将 3 应用于结果相同。 上面的表达式可以理解为：“f”是：0应用于“f”，3应用于前一次应用的结果。

但是 f 以前被定义为：

(\f.\n.\m.if (isZero n) then m else f (pred n) (succ m))

因此，在这种情况下，您将拥有：

add = (\f.\n.\m.if (isZero n) then m else f (pred n) (succ m))

add 0 3 = \n.\m.if (isZero n) then m else add (pred n) (succ m)) 0 3
    = **\n**.\m.if (isZero **n**) then m else add (pred **n**) (succ m)) **0** 3
    = \m.if (isZero 0) then m else add (pred 0) (succ m)) 3
    = **\m**.if (isZero 0) then **m** else add (pred 0) (succ **m**)) **3**
    = if (isZero 0) then 3 else add (pred 0) (succ 3))
    = if **(isZero 0)** then 3 else add (pred 0) (succ 3))
    = if True then 3 else add (pred 0) (succ 3))
    = 3

在语法树中，您只需显示扩展，即可达到结果 3。

作为一个更直接的应用程序示例，考虑函数“sum”，定义为 (\x.\y.x + y)，(sum 3 2) 的结果将是：

(sum 3 2)
((sum 3) 2)
(((sum) 3) 2)
(((\x.\y.x + y) 3) 2)
((\y.3 + y) 2)
(3 + 2)
5

求解表达式的顺序没有限制； λ演算被证明具有相同的结果，无论使用的归约顺序如何。 See ref.

正如 Giorgio 所指出的，Y 是一个定点组合器，如果您的应用程序返回相同的表达式，它允许您在某个点停止迭代。

由于应用程序需要有限次数的迭代，因此解决方案是相同的，只需注意固定指针组合标记：

Y = (\f.\n.\m.if (isZero n) then m else f (pred n) (succ m))
Y add = (\f.\n.\m.if (isZero n) then m else f (pred n) (succ m)) add
Y add = (**\f**.\n.\m.if (isZero n) then m else **f** (pred n) (succ m)) **add**
Y add = \n.\m.if (isZero n) then m else add (pred n) (succ m)

Y add 0 3 = \n.\m.if (isZero n) then m else add (pred n) (succ m)) 0 3
    = **\n**.\m.if (isZero **n**) then m else add (pred **n**) (succ m)) **0** 3
    = \m.if (isZero 0) then m else add (pred 0) (succ m)) 3
    = **\m**.if (isZero 0) then **m** else add (pred 0) (succ **m**)) **3**
    = if (isZero 0) then 3 else add (pred 0) (succ 3))
    = if **(isZero 0)** then 3 else add (pred 0) (succ 3))
    = if True then 3 else add (pred 0) (succ 3))
    = 3

参考fixed point combinator。