为什么 (( (λf.λx.f(f(f(x)))) (λg.λy.g(g(y))) ) (λz.z + 1)) (0) 计算结果为 8？

Question

所以我有这个 lambda 表达式：(λf.λx.f(f(f(x)))) (λg.λy.g(g(y)))(λz.z + 1)(0)，我正在尝试手动评估它。他们的想法是(λf.λx.f(f(f(x)))) 基本上代表表达式f(f(f(x)))。然后同样(λg.λy.g(g(y))) 代表表达式g(g(y))。然后传入g(g(y)) 替换f。所以我们得到g(g(g(g(g(g(y))))))。或g 与自己组成6 次。然后我们将z+1 传递给g，然后将0 插入到最后的表达式中，最后得到6。

>>>(((lambda f: lambda x: f(f(f(x))))(lambda g: lambda y: g(g(y))))(lambda z: z+1))(0)
8

问题是，当我使用 python 的内置 lambda 演算工具验证这个答案时，我得到 8 作为答案。

很明显，我的评估是错误的。我正在考虑将 2 g 组合物乘以 3 f 组合物得到 6。但显然我应该将其视为 2^3 组合物，但我不明白为什么。

Answer 1

你的直觉有点让你失望。尝试以“直观”的方式组合这两个表达式是很诱人的，但这样做会过度简化问题。让我们来看看前几个步骤。

这是您的 lambda 表达式，为了便于阅读，删除了一些无关的括号

(λf.λx.f(f(fx))) (λg.λy.g(gy)) (λz.z+1) 0

现在，您的直觉告诉您，我们通过让 f 成为 λy.g(gy) 来“组合”前两个函数。但事实并非如此。看，我们不会让f 成为λy.g(gy)；我们让f 成为λg.λy.g(gy)（此时g 仍然是一个论点）。所以第一个简化适用于

(λx.(λg.λy.g(gy))((λg.λy.g(gy))((λg.λy.g(gy))x))) (λz.z+1) 0

这是一个令人困惑的混乱，但重点是被重复的位仍然有一个g 参数。然后我们为x 插入λz.z+1，这无疑是相当简单的

(λg.λy.g(gy)) ((λg.λy.g(gy))((λg.λy.g(gy))(λz.z+1))) 0

好的。现在在最里面的 redex 中，我们将让 g 成为 (λz.z+1)。因此，忽略该过程的几个步骤，我们将在y 上获得一个函数，它表示“将一个添加到这个东西两次”。即

(λg.λy.g(gy)) ((λg.λy.g(gy))(λy.y+2)) 0

好的，现在让我们再做一次。 redex 的左侧和以前一样，所以我们要在右侧做两次。右边的东西是“给这个数字加一”，所以我们得到

(λg.λy.g(gy)) (λy.y+4) 0

最后，做最后一次。我们将一个数字加四两次。

(λy.y+8) 0

对于大奖，零加八是......

8

Answer 2

像 Silvio 那样一步一步地走一遍绝对是一个很好的练习，但更简单：

你将f->f^3应用于g->g^2，那不就是g->(((g^2)^2)^2) = g^8吗？ 所以 (+1)^8 (0) = 8