n^2 log n 复杂度答案

【问题标题】：n^2 log n complexityn^2 log n 复杂度
【发布时间】：2014-02-02 12:03:34
【问题描述】：

我只是有点困惑。如果算法的时间复杂度由

给出

大O符号是什么？只是还是我们保留日志？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

如果这是算法的时间复杂度，那么它已经是大 O 表示法，所以，是的，保留日志。渐近地，O(n^2) 和 O((n^2)*log(n)) 之间存在差异。

【讨论】：

【解决方案2】：

理解大 O 符号的一种简单方法是将实际原子步数除以大 O 项，然后验证您得到一个常数（或小于某个常数的值）。

例如，如果您的算法执行 10n²⋅logn 步：

10n²⋅logn/n² = 10 log n -> 在 n 中不恒定 -> 10n²⋅log n 不是 O(n²)

10n²⋅logn/(n²⋅log n) = 10 -> n 中的常数 -> 10n²⋅log n 为 O(n²⋅logn)

【讨论】：

【解决方案3】：

在这里有一个正式的数学证明会很好。

让我们定义以下变量和函数：
N - 算法的输入长度，
f(N) = N^2*ln(N) - 计算算法执行时间的函数。

让我们确定这个函数的增长是否以O(N^2)为渐近边界。

根据渐近符号 [1] 的定义，g(x) 是 f(x) 的渐近界当且仅当：对于 x 的所有足够大的值，f(x) 的绝对值位于大多数是g(x) 的正常数倍数。也就是说，f(x) = O(g(x)) 当且仅当存在一个正实数 M 和一个实数 x0 使得

|f(x)| <= M*g(x) for all x >= x0 (1)

在我们的例子中，必须存在一个正实数 M 和一个实数 N0，这样： |N^2*ln(N)| <= M*N^2 for all N >= N0 (2)

显然，M 和 x0 不存在，因为对于任意大的M 都有N0，这样 ln(N) > M for all N >= N0 (3)

因此，我们证明了N^2*ln(N) 不是由O(N^2) 渐近界的。

【讨论】：

【解决方案4】：

您确实保留了日志，因为 log(n) 会随着 n 的增加而增加，并且反过来会增加您的整体复杂性，因为它会成倍增加。

作为一般规则，您只会删除常量。因此，例如，如果您有 O(2 * n^2)，您只会说复杂度为 O(n^2)，因为在功能强大两倍的机器上运行它不会影响复杂度。

同样，如果你的复杂度为 O(n^2 + n^2)，你会遇到上述情况并说它是 O(n^2)。由于 O(log(n)) 比 O(n^2) 更优化，如果你有 O(n^2 + log(n))，你会说复杂度是 O(n^2)，因为它更小而不是 O(2 * n^2)。

O(n^2 * log(n)) 不属于上述情况，不宜简化。

【讨论】：

【解决方案5】：

如果某个算法的复杂度=O(n^2)，它可以写成O(n*n)。是 O(n) 吗？绝对不是。所以 O(n^2*logn) 不是 O(n^2)。你可能想知道的是 O(n^2+logn)=O(n^2)。

【讨论】：