`arr fst` 是如何自然转换的？答案

【问题标题】：How is `arr fst` a natural transformation?`arr fst` 是如何自然转换的？
【发布时间】：2020-08-28 18:43:24
【问题描述】：

我刚才问this question。这是关于以下箭头定律：

arr fst . first f = f . arr fst -- (.) :: Category k => k b c -> k a b -> k a c

在 Asad Saeeduddin 帖子下的 cmets 中以 自然变换 的方式对其进行了解释。我想检查一下我的解释是否正确，并与Bartosz Milewski's article on natural transformations进行比较。

所以，自然变换的定义如下：

我们有两个类别C 和D 和仿函数F, G : C ~> D。自然变换α 是D 中的一组箭头，这样：

这些箭头从F 的结果指向G 的结果。也就是说，对于C 中的每个对象a，都存在一个箭头（在a 处称为α 的组件）α_a :: F a ~> G a。
对于每个f :: a ~> b、a 和b 作为C 中的对象，保持：Gf . α_a = α_b . Ff。这就是自然。

基本上，我们需要弄清楚在我们的例子中是哪四个变量：C、D、F 和 G。

据我所知：

C 和D 是同一类别的任意类型，k a b 是其中的箭头，其中k 是我们正在使用的Arrow 实例。因此，F 和G 是内函子。
F 是 (, c) 和 G 是 Identity。换句话说，如果我们不再使用类型，我们将 F 映射到 first 并将 G 映射到 id。不考虑类型可能会更容易，因为 Category 和 Arrow 类帮助我们构造类别的箭头，而不是对象

这样对吗？

另外，Bartosz Milewski wrote those ideas down 是这样的：

fmap f . alpha = alpha . fmap f

据我所知，我们需要一个更通用的形式，因为这里alpha :: forall a. F a -> G a 只处理 Hask 作为它使用的类别。还是我错了？这张图fmap在哪个地方？

【问题讨论】：

我认为你的 G 和 F 是错误的，但除此之外你是对的（包括关于“fmap”的更一般形式的东西）。 arr fst 的类型为 k (x, c) x，而不是 k x (x, c)。
@AsadSaeeduddin 你是对的 - 谢谢。我编辑了帖子。
看起来你现在的答案只是用不同的方式来表达你以前的，所以对我来说仍然是正确的。当你指定一个范畴时，你通常用它的态射来表征它，因为通常态射的规范最终决定了对象。如果我们说C 是一个“箭头类别”（就像你之前所做的那样），其中从对象a 到b 的态射是箭头类型k a b 的成员，我们隐含地结束了指定对象是任意类型 a, b, ...
类似的经验法则适用于函子：函子的态射映射最终也指定了对象映射，因为你不能在没有定义后者的情况下编写前者。因此，除了出于美学原因之外，没有任何规定我们必须根据类型构造函数而不是它们的“fmap”操作（就像你之前所做的那样）在箭头类别上定义我们的 endofunctors。
为了完整起见添加答案。即使在 cmets 和编辑之间，我怀疑您现在已经基本弄清楚了。

标签： haskell functor category-theory arrows

【解决方案1】：

据我所知：

C 和D 是同一类别的任意类型，k a b 是其中的箭头，其中k 是我们正在使用的Arrow 实例。因此，F 和 G 是内函子。

F 是 (, c)，G 是 Identity。换句话说，如果我们不再使用类型，我们将F 映射到first，将G 映射到id。 [...]

是的，就是这样。 arr fst :: k (b, c) b 中的k 和c 的每一个选择都为我们提供了(, c) 内函子和k 类别中的恒等函子之间的自然转换。执行特化为我们提供了一个看起来更像自然转换的签名：

arr @K (fst @_ @C) :: forall b. K (b, C) b

此外，Bartosz Milewski wrote those ideas down 像这样：
fmap f . alpha = alpha . fmap f
据我所知，我们需要一个更通用的形式来实现我们的目的这里alpha :: forall a. F a -> G a 只处理 Hask 作为它适用的类别。还是我错了？ fmap在哪个地方这张照片？

也正确。 fmap 必须被所涉及的函子的任何适当的态射映射替换。在您的示例中，它们恰好是 first 和 id，正如您之前注意到的那样，这使我们回到了我们一开始的箭头定律。

(至于替换fmap，Functor的方法从特定的函子态射映射中抽象出来，通过一个更一般的类比，这需要进行适当的安排，以便我们可以表达涉及非Hask的函子 Haskell 代码中的类别。您可能想看看constrained-categories 和data-category 是如何处理的。）

【讨论】：

感谢您的回答。什么是arr-category(1^st 提取)？你的意思是k-category，k 是手头的Arrow 实例吗？
@ZhiltsoffIgor 没错。（我的意思是写k-category；arr 有一个错字。）
另外，你确定arr @K (fst @_ @C)的类型签名吗？首先，我看不出应用于一个参数的K 如何单独出现在类型签名中（如K a :: * -> *）。此外，GHCi 告诉我们：arr @K (fst @_ @C) :: K (c, C) c.
@ZhiltsoffIgor 那是另一个编辑错误。已修复，谢谢。
@ZhiltsoffIgor 虽然我在写答案时没有想到 subhask，但它的类别和仿函数类也是相关示例。至于弃用，我很确定它已被放弃。 subhask（值得注意的是，其范围比仅仅引入更通用的类别抽象要广泛得多）自 2015 年以来没有新版本，而 constrained-categories 是仍然积极维护。

【解决方案2】：

您无需担心额外的类别，因为arr fst 不涉及任意的Arrow，只是它的(,) 实例。

在 Haskell 中，对于某些函子 f 和 c，类型为 f a -> g a 的函数是一种自然转换。在arr fst :: (b -> c) -> (b, c) 的情况下，让f ~ (->) b 和g ~ (,) b。

【讨论】：

这是什么意思“arr fst 不涉及任意的Arrow，只是它的(,) 实例”？
arr 在其签名中具有约束类型 Arrow a => a，但 arr fst 返回的函数没有。
说实话，我非常怀疑。此外，当我输入:t arr fst 时，GHCi 告诉我的是：arr fst :: Arrow a => a (c, b) c。
顺便说一句，我认为(b -> c) -> (b, c) 类型是无人居住的，因为(B -> C) -> BC 不是重言式（检查B = False 和C = True）。直觉可能是我们无法在一般情况下应用函数参数。
但是我可能只是误解了您的答案（可能是这种情况）。请您补充一点解释好吗？