将 3-Coloring 减少到 10-Coloring（NP-completeness）

Question

我试图证明 NP 完全问题的 3 色图形减少到 10 色图形的问题。我已经展示了如何在多项式时间内验证 10 色，因此在NP。现在我只需要证明它确实可以简化为 3 色。

我的想法是从本质上证明一个双条件：给定一个图 G，我们有 G 有 3 种颜色当且仅当 G 有 10 种颜色。现在，我不确定如何展示这一点，因为很明显，G 可以有 10 种颜色而不是 3 种颜色。所以这让我相信一定有一些减少会以某种方式改变 G 让我看到，是的，3-coloring 确实减少到 10-coloring。问题是，我很难想象这一点。

谁能帮帮我？

Answer 1

获取给定的 Graph G 并用 K_7 的实例对其进行补充，以便为每个顶点对 (u, v) \in G x K_7 添加一条边以形成新的 Graph G'。这种增强显然可以在多项式时间内完成。

• 如果 G 是 3 色，G' 是 10 色：
  
  取G 的3 种颜色，使用其他7 种颜色为K_7 实例着色。

• 如果 G 不是 3 色，G' 不是 10 色：
  
  G' 中的K_7 实例消耗7 种颜色。这些颜色都不会出现在G 中，因为分别来自G 和K_7 实例的每对顶点之间都有一条边。
  
  考虑G 上的任意 3 色分配。由于G 不是3-colorable，因此必须有边((x_i, y_i)_i=1..m，其顶点在此分配下被赋予相同的颜色。 假设我们同时重新着色所有顶点{x_i, y_i}_i=1..m。但是，在用于K_7 实例的颜色中或用于G 顶点的3 种颜色中都不能有顶点的新颜色（在后一种情况下，限制为G 的分配在重新着色）。因此我们需要第 11 种颜色。