NP 完全 - 可在非确定性多项式时间内求解

Question

在一本书中写到——“如果问题 A 是 NP-Complete，则存在一个非确定性多项式时间算法来解决 A”。但据我所知，“是” - NP完全问题的答案可以在多项式时间内“验证”。我真的很困惑。 NP完全问题可以用非确定性多项式时间算法“解决”吗？

Answer 1

这两件事基本上是相同的，并且基于两个不同但等效的NP定义。

NP 中的每个问题（语言）都必须是：

1. 由确定性图灵机在多项式时间内验证。 （给定一个问题和一个“验证”，您可以在多项式时间内回答验证是否正确）。
   示例： 给定一个图，并且您想检查其中是否存在汉密尔顿路径 - 验证者可以是路径。获得路径后，您可以轻松检查该路径是否确实是哈密顿路径。
2. 由非确定性图灵机在多项式时间内求解。 （存在可以多项式解决问题的非确定性图灵机M）

由于根据 NP-Complete 的定义 - 如果问题是 NP-Hard AND 在 NP 中，则该问题是 NP-Complete，因此每个 NP-Complete 问题也是 NP - 两者都是正确的。

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请注意，这两个声明基本上基于 NP 的两个等效定义：

1. 如果L 中的每个x 有一个词z 使得|z| 在|x| 中是多项式，则语言L 是NP，并且存在一些运行在多项式时间 M - 这样对于每个 x 及其匹配的 z,: M(x,z) = true if and only if x is in L
2. 如果存在可以在多项式时间内解决问题的非确定性图灵机，则 NP 存在问题。形式上，如果存在非确定性图灵机，则语言 L 在 NP 中，例如 M(x) = true if and only if x is in L

Answer 2

找到 NP 完全问题的解决方案可以在非确定性图灵机上在多项式时间内完成。给定一个 NP 完全问题的候选解，可以在确定性图灵机上以多项式时间验证它是否确实是一个解，即检查。

所以区别在于找到解决方案和检查解决方案。前者通常需要对 NP 完全问题进行某种搜索，而后者只是验证变量的分配。