这种关系的时间复杂度 - 矩阵链乘法答案

【问题标题】：Time complexity for this relation - matrix chain multiplication这种关系的时间复杂度 - 矩阵链乘法
【发布时间】：2012-08-28 12:08:37
【问题描述】：

我认为矩阵链乘法问题的（低效）递归过程可能是这样的（基于 Cormen 中给出的递归关系）：

MATRIX-CHAIN(i,j)
    if i == j
        return 0
    if i < j
        q = INF

        for k = i to j-1
            q = min (q, MATRIX-CHAIN(i,k) + MATRIX-CHAIN(k+1, j) + c)  
            //c = cost of multiplying two sub-matrices.

        return q

时间复杂度为：

T(n) = summation over k varying from i to j [T(k) + T(n-k)]

这里，n = 要相乘的矩阵数。

T(n) 的值是多少？

【问题讨论】：

应该是 q = INF 还是 q = max( )
您要en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number 吗？ :)

标签： algorithm recursion big-o time-complexity matrix-multiplication

【解决方案1】：

这是http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number

您可以将递归关系视为括号。 wiki 页面详细描述了如何得出公式。

【讨论】：

我不知道如何解决我提到的递归关系（即 T(n) = k 上的求和从 i 到 j [T(k) + T(n-k)]）。那么，我怎么知道它转换为加泰罗尼亚语数字？
@jatin 你最好在数学论坛上问这个关于解决递归的问题。这里的解决方案是加泰罗尼亚数字。它是 $\omega{2^n}$

【解决方案2】：

这可能会有所帮助：

您只需计算每个矩阵链一次（并存储其值）。

开始 = i 和 j 之间的任意位置

end = start 和 j 之间的任意位置

k = 开始和结束之间的任意位置

如果我们想到一个除了三个 1（代表开始、k、结束）之外全为 0 的数字

这个特殊数字有 j-i+1 个数字。

例如如果 i = 3 和 j = 6，我们需要 4 位数字给我们以下选项：

1101 (i=3, k=4, j=6)

1011 (i=3, k=5, j=6)

0111 (i=4, k=5, j=6)

1110 (i=3, k=4, j=5)

i,j,k 的选择数 = Combinations(3, j-i+1)

这是n!/(k! * (n-k)!) = (j-i+1)! / (3! * (j-i+1-3)!)

【讨论】：